Kvadratsetningene

(a+b)²=a²+2ab+b²

Det finnes to kvadratsetninger, og den såkalte konjugatsetningen. De er nyttige å kunne både fremlengs og baklengs, for å gjøre både algebra og hoderegning enklere.

1. Kvadratsetning

$\ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2. Kvadratsetning

$\ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Konjugatsetningen

Vi regner ikke her ut noe kvadrat, men en differanse mellom to kvadrater. Denne setningen blir ofte feilaktig kalt 3. kvadratsetning.

$\ (a+b) (a-b) = a^2 - b^2$

Fullstendig kvadrat

Utdypende artikkel: Kvadratkomplettering

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som kan faktoriseres ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Uttrykket $\ x^2 + bx + c$ er et fullstendig kvadrat dersom $\ (b/2)^2 = c$. Da er $\ x^2 + bx + c = (x + b/2)^2$ .

Dersom en har et uttrykk som ikke akkurat passer med en av de to første kvadratsetningene kan man utvide dem til fullstendig kvadrater.

$\ x^2 - 6x + 4$

Vi lager et fullstendig kvadrat:

$\ = x^2 - 6x + (6/2)^2 - (6/2)^2 + 4$

$\ = x^2 - 6x + 3^2 - 9 + 4$

$\ = (x-3)^2 - 5$

Generalisert fullstendig kvadrat

Et generelt andregradsuttrykk kan skrives som et generelt fullstendig kvadrat på følgende måte

$ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$

Mer generelt, om $n$ er et positivt heltall, så

$ax^{2n}+bx^n+c=a\left(x^n+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$

Hoderegning

God kunnskap til kvadratsetningene kan gjøre vanlig hoderegning enklere. Fremgangsmåten er å se på ulike multiplikasjonsoppgaver som en kvadratsetning. Eksempler:
$19 * 21 = (20-1)(20+1) = 20^2 - 1^2 = 399$
$31 * 31 = 31^2 = (30+1)^2 = 30^2 + 2 * 30 * 1 + 1^2 = 900 + 60 + 1= 961$

Se også

• Kuberingssetningene
• Binomialformelen

Denne artikkelen er dessverre kort eller mangelfull. Hvis du vet mer om emnet, kan du hjelpe Wikipedia ved å utvide den eller foreslå endringer.
Det finnes mer utfyllende artikkel/artikler på  .