Laplace-ligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Grafisk fremstilling av løsning til Laplace-ligningen i to dimensjoner mellom to sirkler r = 2 og r = 4. Potensialet er null på den indre sirkelen, mens det på den ytre er u = 4 sin 5θ.

Laplace-ligningen er en partiell differensialligning av andre orden. Den spiller en meget viktig rolle i teoretisk fysikk og matematisk analyse. Ved bruk Laplace-operatoren 2 som virker på en funksjon Φ med N variable, kan den skrives på den kompakte formen

Generelt kan det da vises at løsningene av ligningen er harmoniske funksjoner i N dimensjoner.

Differensialligningen ble funnet i 1782 av Pierre-Simon Laplace i forbindelse med beregning fra Newtons gravitasjonsteori av gravitasjonspotensialet for en kontinuerlig massefordeling. I 1812 viste Siméon Denis Poisson at ligningen ikke gjelder inni en slik fordeling, men kan den utvides med et nytt ledd på høyre side som er proporsjonalt med massetettheten. Den er da gyldig overalt og kalles for Poissons ligning.

Laplace-ligningen opptrer ofte ved beskrivelse av stasjonære prosesser i fysikk. For eksempel vil temperaturen i et legeme som styres av varmeledning, oppfylle ligningen når den ikke lenger forandrer seg med tiden. Også partikkeltettheten ved diffusjon vil være gitt som løsning av ligningen under stasjonære forhold. Likedan vil potensialene både innen elektrostatikken og magnetostatikken utenfor alle elektriske ladninger og strømmer være bestemt av Laplace-ligningen.

I kompleks analyse vil både den reelle og imaginære delen av en kompleks funksjon oppfylle den to-dimensjonale Laplace-ligningen. De er derfor begge harmoniske funksjoner. Dette er en direkte konsekvens av Cauchy–Riemanns ligninger.

Opprinnelse[rediger | rediger kilde]

I sine astronomiske arbeid basert på Newtons gravitasjonslov hadde Laplace vist at mange beregninger kunne gjøres enklere ved å innføre et gravitasjonspotensial skapt av en masse i stedet for gravitasjonskraften som den forårsaker.[1] Betrakter man en kontinuerlig massefordeling med tetthet ρ, er dette potensialet i et punkt r gitt ved integralet

hvor G er gravitasjonskonstanten. Ved bruk av kartesiske koordinater kan avstanden R = |r - r'| skrives som

slik at ∂R/∂x = (x - x' )/R. Dermed er ∂/∂x(1/R) = - (1/R3)(x - x' ). En videre derivasjon gir så

Sammen med de tilsvarende dobbeltderiverte i de to andre retningene blir dermed

Da disse derivasjonene kan tas inn under integrasjonssymbolet for gravitasjonspotensialet, har man dermed

Dette er Laplace-ligningen i kartesiske koordinater i N = 3 dimensjoner.

Elektrisk potensial[rediger | rediger kilde]

Da Coulombs lov for elektriske krefter har samme form som Newtons gravitasjonslov, er det å forvente at Laplace-ligningen også vil kunne beskrive det elektriske potensialet φ. Det følger fra Maxwells ligninger. Hvis man ikke har noe magnetisk felt, sier Faradays induksjonslov at det elektriske feltet E må oppfylle  × E = 0. Det må derfor kunne skrives som gradienten av potensialet, det vil si at E = -  Φ. Når man i tillegg er i et område hvor det ikke er noen elektriske ladninger, sier Maxwells første ligning at  ⋅ E = 0. Det betyr at  ⋅  Φ = ∇ 2Φ = 0 som er Laplace-ligningen. Den tillater ofte å finne løsninger for det elektriske potensialet og derav feltet E, noe som er lettere enn å beregne det elektriske feltet direkte.[2]

Potensialstrømning[rediger | rediger kilde]

En ideell væske beskrives ved Euler-ligningene. Under vanlig forhold er væsken virvelfri. Det betyr at curl til dens hastighet v er null, det vil si at  × v = 0. På samme måte som for det elektriske feltet, betyr det at hastighetsfeltet til væsken må kunne skrives som gradienten av et potensial Ψ. Da har man at v =  Ψ og bevegelsen til væsken sies å være en potensialstrømning. I stedet for en beskrivelse ved de tre komponentene til vektorfeltet v, kan man da klare seg med den ene potensialfunksjonen Ψ.[3]

Beregning av dette potensialet forenkles når væsken i tillegg er inkompressibel, det vil si at den medfølgende tettheten er konstant. Kontinuitetsligningen sier da at væskens hastighet v tilfredsstiller  ⋅ v = 0. Benytter man her kravet v =  Ψ om virvelfrihet, følger igjen Laplace-ligningen  2Ψ = 0.

Dette er vanligvis en tredimensjonal ligning da potensialet avhenger av tre koordinater, det vil si at Ψ = Ψ(x,y,z). Men løsning av den todimensjonale ligningen kan også ha praktisk betydning. For eksempel, så følger det fra Young-Laplace-ligningen for en glatt hinne av såpevann med en høyde H = H(x,y) over et plant referansenivå, at den er bestemt av  2H = 0 hvor nå Laplace-operatoren involverer bare de to koordinatene x og y. Den glatte egenskapen til denne flaten og likedan såpebobler er en konsekvens av overflatespenningen til såpevannet.[4]

Generell definisjon[rediger | rediger kilde]

Laplace-ligningen i et N-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater x = (x1, x2, ... ,xN ) er definert som

Ved å innføre nabla-operatoren for å kunne beregne gradient og divergens, kan ligningen på mer kompakt form skrives som

Her inngår på venstre side Laplace-operatoren i N dimensjoner. Ved å benytte andre koordinatsystem i dette rommet, vil den ta andre former som kan finnes fra denne generelle definisjonen.

Kulesymmetrisk løsning[rediger | rediger kilde]

Den enkleste, ikke-trivielle løsningen av Laplace-ligningen finnes ved å anta at den er invariant under rotasjoner. Den er da kun en funksjon av radius

Potensialet kan da skrives som Φ(r) = u(r ). Ved å benytte at ∂r/∂xi = xi /r, blir dermed

for hver koordinat xi. Dermed tar ligningen formen

Herav følger at løsningen må oppfylle betingelsen

som betyr at

der a er en konstant. Dermed vil de kulesymmetriske løsningene være av formen

hvor c er en konstant som sammen med a kan bestemmes av grensebetingelsene.

Standardform[rediger | rediger kilde]

Det er vanlig å skrive disse løsningene på en standardform som benyttes ved beregning av Greens funksjon. Hvis man innfører den fulle romvinkel i N dimensjoner,

når den uttrykkes ved gammafunksjonen Γ(z ), er de kulesymmetriske løsningene

De gir potensialet utenfor en punktpartikkel i origo. Med denne standardnormeringen er potensialet Φ = 1/4π r i N = 3 dimensjoner.

Coulomb-potensialet oppfyller generelt Laplace-ligningen i alle områder av rommet hvor det ikke er ladninger. Da potensialet skapt av en punktladning alltid er kulesymmetrisk, betyr det at Coulomb-potensialet utenfor en slik ladning i N = 2 dimensjoner varierer logaritmisk med avstanden og går ikke mot null ved store avstander. Derimot vil Coulomb-potensialet skapt av en punktladning i rom med N > 3 dimensjoner avta mot null raskere ved store avstander enn i tre dimensjoner.

To dimensjoner[rediger | rediger kilde]

Den todimensjonale Laplace-ligningen

opptrer i kompleks analyse hvor en funksjon f (x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) må oppfylle Cauchy-Riemanns ligninger

Ved å derivere den første med hensyn på x og den andre med hensyn på y, vil en addisjon av de to resulterende ligningene gi at den reelle funksjonen u(x,y) tilfredstiller Laplace-ligningen i to dimensjoner. Det samme gjelder for funksjonen v(x,y) som vises ved å derivere de to ligningene med hensyn på y i stedet.

Homogene polynom og harmoniske løsninger[rediger | rediger kilde]

I N = 2 dimensjoner er det kun løsningen ln(x2 + y2) som er rotasjonssymmetrisk. Men oppgis dette kravet, er det en uendelighet av andre løsninger. En spesiell klasse er homogene polynom. De to enkleste er xy og x2 - y2 som er slike polynom av andre grad og oppfyller Laplace-ligningen. Uttrykkes disse i polare koordinater x = r cosθ og y = r sinθ, er de to løsningene proporsjonale med henholdsvis r 2sin 2θ og r 2cos 2θ.

Denne sammenhengen kan man også se ved å betrakte homogene polynom av tredje grad. Av dem er der fire, nemlig x 3, x 2y, xy 2 og y 3. Men bare de to kombinasjonene 3x 2y - y 3 og 3y 2x - x 3 oppfyller Laplace-ligningen. I polarkoordinater kan de skrives som henholdsvis r 3sin 3θ og r 3cos 3θ når man benytter de Moivres formler. Og slik fortsetter det for polynom av høyere grad. Disse spesielle løsningene sies å være harmoniske da de kan uttrykkes ved trigonometriske funksjoner som beskriver harmoniske svingninger.

Separasjon av variable[rediger | rediger kilde]

Mer generelle løsninger kan finnes ved å anta at løsningene kan skrives som et produkt av to funksjoner hvor hver kun avhenger av en variabel. Dette kalles for metoden med «separasjon av variable».

Med denne antagelsen Φ(x,y) = X(x)Y(y) kan den to-dimensjonale Laplace-ligningen omformes til

Da x og y er uavhengige variable, kan denne ligningen bare være gyldig hvis hver side er lik med en konstant. Kalles den for K, vil dermed den opprinnelige Laplace-ligningen være redusert til de to vanlige differensialligningene

som er enklere å løse. For eksempel, hvis konstanten K er positiv slik at man kan skrive K = k2, vil X = ekx og Y = sinky gi den enkle løsningen Φ = ekx sinky av den opprinnelige Laplace-ligningen. Mer generelle løsninger finnes ved å kombinere flere slike løsninger med verdier for K som er valgt for å oppfylle gitte grensebetingelser.

Polarkoordinater[rediger | rediger kilde]

Laplace-operator tar forskjell form avhengig av hvilke koordinatsystem man benytter. I to dimensjoner kan det ofte være hensiktsmessig å benytte polarkoordinater (r,φ). Laplace-ligningen tar da formen

Løsninger kan igjen finnes ved separasjon av variable. Man skriver da V = R(r)F(φ) og setter inn i ligningen. Det vil da gi at

hvor λ er en konstant. Skal løsningene være periodiske i φ, må λ = n 2 hvor n er et helt positivt tall eller null. Vinkelavhengigheten til løsningene må derfor være

Den resterende, radielle ligningen er nå

som har løsningene

Her er an , bn , cn  og dn integrasjonskonstanter som må bestemmes ut fra grensebetingelsene. For eksempel, hvis man vil at løsningene skal være regulære i punktet r = 0, da må alle dn = 0 slik at den mest generelle løsningen tar formen

hvor man her har redefinert konstantene slik at cn = 1. Hvis man lar radius r = konstant, finner man her de harmoniske løsningene cos  og sin  som oppsto på en mer komplisert måte som homogene polynom ved bruk av kartesiske koordinater.

Tre dimensjoner[rediger | rediger kilde]

Ved bruk av kartesiske koordinater i N = 3 dimensjoner har Laplace-ligningen formen

Som for to dimensjoner kan man finne løsninger med form av homogene polynom i de tre variable x, y og z. Disse har formen x p y q z r og kombinasjoner av slike hvor heltallene p, q og r  har en konstant sum som er graden til polynomet. Har disse polynomene grad ℓ , er det i allminnelighet 2ℓ + 1 slike løsninger av Laplace-ligningen. De danner sfærisk harmoniske funksjoner Ym, også kalt for kuleflatefunksjoner.

Av laveste grad ℓ = 1 har man tre løsninger som ganske enkelt er de tre koordinatene x, y og z. For ℓ = 2 finner man de fem løsningene xy, xz, yz, x 2 - y 2 samt x 2 + y 2 - 2z 2. Uttrykkes disse i kulekoordinater (r, θ, φ) slik at x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ og z = r cosθ, ser man at denne siste kombinasjonen x 2 + y 2 - 2z 2 tilsvarer Y20. På samme måte danner xy og x 2 - y 2 de to sfæriske harmoniske funksjonene Y2,±2, mens xz og yz kan kombineres til å gi Y2,±1. Med bruk av komplekse variable viser man lett at det homogene polynomet (x + iy) er direkte proporsjonal med den spesielle kuleflatefunksjonen Yℓℓ(θ,φ).

Kulekoordinater[rediger | rediger kilde]

Løsninger av Laplace-ligningen som involverer sfærisk harmonisk funksjoner kommer mer direkte frem ved å uttrykke Laplace-operatoren i kulekoordinater. For potensialet V = V(r,θ,φ) har den da formen

Ved en første separasjon av variable kan man skrive V = R(r)Y(θ,φ). Det gir

hvor λ må være en konstant. For at den partielle differensialligningen på høyre side skal ha regulære løsninger, må λ = ℓ (ℓ + 1) hvor ℓ er et helt, positivt tall. Den går da over til differensialligningen som definerer sfærisk harmoniske funksjoner. De betegnes med Ym(θ,φ)  hvor heltallet m må ligge i intervallet - ℓ ≤ m ≤ ℓ og derfor tar 2ℓ + 1 forskjellige verdier.

Den radielle ligningen tar nå formen

og har løsninger av formen r ℓ eller 1/r ℓ + 1. Disse siste divergerer når r → 0. Disse løsningene har derfor den generelle formen

hvor Am og Bm er konstanter som må bestemmes ut fra grensebetingelsene. For eksempel, hvis man vil at løsningene skal være regulære i grensen r → 0, må man ha at Bm = 0.

Sylinderkoordinater[rediger | rediger kilde]

Noen løsninger av Laplace-ligningen finnes mer direkte i sylinderkoordinater (r, φ, z) der x = r cosφ og y = r sinφ. Fra uttrykke for den tilsvarende Laplace-operatoren tar ligningen da formen

Igjen kan løsninger finnes ved en separasjon av variabler. Ved å anta formen V = R(r)F(φ)Z(z), vil φ-avhengigheten være gitt av løsninger til den enklere differnsialligningen F"  = λF hvor på venstre side opptrer den dobbeltderiverte, her med hensyn på φ. For at den skal ha skal periodiske løsninger, må λ = - m 2 hvor m er et positivt heltall. Det gir

hvor Am og Bm er kontanter. Likedan vil z-avhengigheten følge fra differensialligningen Z"  = KF hvor K er en foreløbig ubestemt parameter. Hvis man ønsker at ligningen skal ha løsninger som ikke er periodiske i z-retningen, må K = k 2 > 0. Da vil løsningene av denne differensialligningen kunne skrives som

der integrasjonskonstantene a og b avhenger av grensebetingelsene. Hele Laplace-ligningen involverer nå bar den radielle funksjonen R som må oppfylle

Dette er Bessel-ligningen med løsninger som er gitt ved de to Bessel-funksjonene Jm(kr) og Ym(kr). Denne siste er ikke regulær i grensen r → 0. De kan kombineres med to ubestemte konstanter Cm og Dm til å gi den generelle, radielle løsningen.

Den fulle løsningen av Laplace-ligningen i sylinderkoordinater er nå gitt som produktet av de tre delløsningene R(r), F(φ) og Z(z) summert over alle mulige verdier for k og m. Integrasjonskonstantene vil i allminnelighet også avhenge av disse verdiene.

Som et enkelt eksempel på en fullstendig løsning kan man tenke seg at den skal være regulær i origo r = 0. Det betyr med en gang at alle Dm = 0. Mulige verdier for k kan så finnes ved å forlange en viss verdi for den radielle funksjonen R for en endelig verdi av r. Hvis ikke, kan k variere fritt mellom null og uendelig og man må integrere løsningen over alle disse verdiene. Videre kan man forlange at løsningen ikke skal divergere for store verdier av koordinaten z, noe som medfører at alle konstantene b = 0. Dermed vil den generelle løsningen i dette tilfellet kunne skrives som

Middelverditeoremet[rediger | rediger kilde]

Løsningene av Laplace-ligningen er harmoniske funksjoner. En av de viktigste egenskaper til disse, er at slike funksjoner tilfredsstiller et generelt teorem om deres midlere verdi i hvert punkt.[5]

Dette kan nesten trivielt illustreres i det endimensjonale tilfellet for Laplace-ligningen d 2Φ/dx2 = 0. Den mest generelle løsningen er Φ = ax + b hvor a og b er konstanter. Ved direkte innsetting i løsningen ser man da at verdien til funksjon Φ i et vilkårlig punkt x er gitt ved verdiene i to nabopunkt som

hvor h her er vilkårlig stor eller liten. Dette er den middelverdien av de to verdiene i nabopunktene. Man ser dette også geometrisk da løsningen representerer en rett linje.

Diskret versjon[rediger | rediger kilde]

Teoremet kan lett sannsynliggjøres ved å erstatte Laplace-operatoren med en diskret versjon. For en funksjon f(x) er den deriverte i et punkt definert som

i grensen der h → 0. Lar man istedet h være tilstrekkelig liten og endelig, er dette definisjonen for en «diskret derivasjon» av funksjonen. Den andrederiverte kan man da skrive som

Tilfredsstiller denne funksjonen den endimensjonal Laplace-ligningen f "(x) = 0, vil derfor igjen f(x) være gitt ved middelverdien i de to nabopunktene.

Ved bruk av denne diskrete derivasjonen for en funksjon F(x,y) som tilfredsstiller den todimensjonale Laplace-ligningen, vil man da på samme måte ha

Denne verdien er igjen middelverdien av de fire naboverdiene. Man kan utvide dette resultatet på samme måte til vilkårlige høyere dimensjoner, men størrelsen h må her være tilstrekkelig liten.

Middelverditeoremet[rediger | rediger kilde]

Harmoniske funksjoner mer generelt har en meget spesiell egenskap som er uttrykt ved «middelverditeoremet». Det sier at for en generell løsning Φ(x) av Laplace i N dimensjoner hvor punktet x er angitt ved N koordinater x1, x2, ... ,xN, så er verdien av funksjonen i hvert punkt lik med den midlere verdi av funksjonen på en vilkårlig stor kuleflate rundt det samme punktet. På matematisk form kan dette uttrykkes som

hvor y angir punkt på kuleflaten S omkring x med vilkårlig stor radius r. For en generell kule i N dimensjoner, vet man at den har et areal

For den mest vanlige situasjon med N = 3 dimensjoner gir denne generelle formelen det kjente resultatet S2 = 4π r 2. Hvis punktet x er i origo og man benytter kulekoordinater slik at flateelementet dS = r 2sinθdθdφ, sier teoremet at verdien der er

uavhengig av verdien til radius r. Dette viser med klarhet at harmoniske funksjoner må ha veldig spesielle egenskaper.

Elektrostatisk eksempel[rediger | rediger kilde]

En elektrisk punktladning Q er plassert på z-aksen i avstand z fra origo. Det elektriske potensialet i origo er derfor Φ(0) = keQ /z der ke er Coulombs konstant. Ifølge middelverditeoremet skal dette være lik den midlere verdien av potensialet på en kuleflate med sentrum i origo. Har den radius r, er potensialet i hvert punkt på denne flaten Φ = keQ /R hvor

når man benytter cosinussetningen og hvert punkt på flaten er angitt ved de sfæriske koordinatene (θ,φ). Den søkte middelverdien er dermed

Integranden er uavhengig av den asimutal vinkelen φ slik at integrasjon over denne variable gir ganske enkelt 2π . Integrasjonen over den polare vinkelen θ forenkles ved å la x = cosθ være ny integrasjonsvariabel. Det gir

som er uavhengig av radius r og bekrefter middelverditeoremets korrekthet. For at Laplace-ligningen skal være gyldig innenfor kuleflaten, må ladningen Q ligge utenfor denne. Det betyr her at r < z.[2]

Maksima og minima[rediger | rediger kilde]

Middelverditeoremet legger store krav på formen til harmoniske funksjoner. Det viktigste er at de ikke kan ha noe lokalt maksimum eller minimum innenfor et begrenset område. Slike ekstremalpunkt kan eventuelt kun finnes på randen av området. Grunnen er at hvis det for eksempel fantes et lokalt maksimum inni området, så kunne ikke dette være middelverdien av punktene på en liten kuleflate som omslutter punktet da alle verdiene på denne ville være mindre enn verdien i det gitte punktet. Tilsvarende ville gjelde for et lokalt minimum.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 2, Oxford University Press, Oxford (1972). ISBN 978-0-19-506136-9.
  2. ^ a b D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
  3. ^ B. Lautrup, Physics of Continuous Matter, Institute of Physics Publishing, Bristol (2005). ISBN 0-7503-0752-8.
  4. ^ J. Oprea, The Mathematics of Soap Films: Explorations with Maple, American Mathematical Society, Providence RI (2000). ISBN 978-0-821-82118-3.
  5. ^ S. Axler, P. Bourdon and W. Ramey, Harmonic Function Theory, Springer-Verlag, New York (1992). ISBN 978-0-387-21527-3.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics, W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
  • M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.