Nabla-operator

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Nabla-operatoren er en matematisk, vektoriell differensialoperator som er representeret ved symbolet som kalles nabla. På grunn av innflytelse fra engelsktalende land, blir den ofte også kalt for del-operatoren. Når den virker på en vanlig funksjon, gir den ikke noe annet enn den vanlige deriverte av funksjonen. Derimot for funksjoner av flere variable, som kan beskrive forskjellige felt i fysikken, gir den mer detaljert informasjon om hvordan disse feltene varierer. Virker den for eksempel på en skalar funksjon som lydfeltet, kalles den for gradient og sier noe om hvordan dette feltet varierer i forskjellige retninger. Variasjon av et vektorfelt som det elektriske feltet, kan være mer komplisert. Det gir opphav til to typer deriverte, en divergens og en curl. Kombinerer vi divergens- og gradientoperatoren, oppstår Laplace-operatoren ∇ 2 som spiller en viktig rolle i teorien for bølger, Maxwells likninger og mange andre fysiske fenomen.

I et tre-dimensjonalt kartesisk koordinatsystem hvor hvert punkt har koordinater (x,y,z), kan nabla defineres som vektoroperatoren

\boldsymbol{\nabla} = \mathbf{i}\,{\partial \over \partial x} + \mathbf{j}\,{\partial \over \partial y} + \mathbf{k}\,{\partial \over \partial z}

Her er i, j og k,basisvektorene i de tre vinkelrette retningene. Operatoren kan også defineres i andre koordinatsystem eller for funksjoner med et større antall variable.

Gradient[rediger | rediger kilde]

Betrakter vi en skalar funksjon f(r) hvor vektoren r = xi + yj + zk angir et punkt i rommet, kan vi nå beregne hvor mye denne skiller seg fra verdien i et infinitesemalt nærliggende punkt r' = r + dr. Differansen mellom funksjonsverdiene i de to punktene er gitt ved

 df = f(\mathbf{r'}) - f(\mathbf{r})  = {\partial f\over \partial x}dx + {\partial f\over \partial y}dy + {\partial f\over \partial z}dz

når vi bruker metoden med Taylorrekke. Ved hjelp av nabla-operatoren kan dette forenkles til df =  f⋅ dr hvor dr er den infinitesemale vektoren som forbinder disse to punktene. I tillegg har vi benyttet notasjonen for det vektorielle skalarprodukt. Her er nå vektoren

 \boldsymbol{\nabla} f = {\partial f\over \partial x}\mathbf{i} + {\partial f\over \partial y}\mathbf{j} + {\partial f\over \partial z}\mathbf{k}

definisjonen av gradienten til funksjonen f(r) .

Ser vi på punktene hvor funksjonen har samme verdi, det vi si som oppfyller ligningen f(r) = konstant, vil disse beskrive en flate i rommet som vanligvis kalles en ekvipotensialflate. Ligger de to punktene f(r) og f(r') som vi betraktet tidligere, begge i denne flaten, så vil i det tilfellet df = 0 . Da vektoren dr ligger i flaten, må derfor gradienten ∇ f stå normalt på ekvipotensialflaten. Det skyldes at det vektorielle skalarprodukt er null for vektorer som står vinkelrett på hverandre.

Som et eksempel kan vi betrakte et statisk, elektrisk felt E(r) = Exi + Eyj + Ezk. Det er direkte relatert til det tilsvarende elektrostatiske potensialet Φ = Φ(r) som er et skalart felt. Sammenhengen er gitt ved ligningen E = -  Φ, det vil si at feltet er minus gradienten til potensialet. Det står derfor vinkelrett på ekvipotensialflatene.

For en elektrisk punktladning Q plassert i origo, sier Coulombs lov at feltet i punktet r er gitt som

 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = {Q\over 4\pi\epsilon_0 r^2} \mathbf{e}_r

hvor er = r/r er enhetvektor som peker i retning fra origo til feltpunktet. Potensialet utenfor ladningen er derfor Φ = Q /4πε0r som kalles for Coulomb-potensialet. Man ser herav at nabla-operatoren virker formelt som den vektorielle derivasjonen ∇ ∼ ∂ /∂ r.

Divergens[rediger | rediger kilde]

Av to vektorer kan vi enten danne et vektorielt skalarprodukt eller et vektorielt kryssprodukt. Da nabla-operatoren har vektoregenskaper, kan den gi to forskjellige deriverte når den virker på et vektorfelt A(r) = Axi + Ayj + Azk. Benytter vi det skalare produkt, finner vi divergensen

 \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{A} = {\partial A_x\over \partial x} +  {\partial A_y\over \partial y} +  {\partial A_z\over \partial z}

til feltet. Der denne deriverte er stor, varierer feltet raskt i styrke. Det vil være tilfelle hvis det har en kilde hvor det oppstår. Eller det kan tyde på at det har en sluk hvor feltet kan forsvinne.

Maxwells 2. ligning sier at at divergensen til det magnetiske feltet er null, i.e. B = 0. Det har derfor ingen kilder. De magnetiske feltlinjer har ikke noe sted å begynne eller slutte, og de må derfor danne lukkede kurver. Dette er ekvivalent med å si at det ikke finnes noen magnetiske monopoler.

Curl[rediger | rediger kilde]

Danner vi det vektorielle kryssproduktet mellom nabla-operatoren og et vektorfelt A(r), finner vi curl til feltet. Denne deriverte kan også eksplisitt uttrykkes ved de deriverte av de forskjellige feltkomponentene når vi bruker definisjonen av dette produktet. Enten kan vi skrive den som

\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A} = \left( {\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z} \right) \mathbf{i} + \left( {\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x} \right) \mathbf{j} + \left( {\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y} \right) \mathbf{k}

eller som

\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \left|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[2pt] {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\[2pt] A_x & A_y & A_z \end{matrix}\right|

når vi bruker den mer kompakte determinant-notasjonen. Denne deriverte sier noe som hvor kraftig feltvektoren roterer eller hvirvler.

Hvis vektoren A er en gradient, er curl til denne gradienten null. Da har vi nemlig at A = f som gir direkte resultatet × f = 0 .

Et eksempel på dette ser vi fra Faraday's induksjonslov × E = - ∂ B/∂ t. I det statiske tilfelle hvor feltene ikke varierer med tiden, gir den × E = 0 som betyr at det elektriske feltet må være en gradient av et skalart felt. Og dette skalare feltet er akkurat det elektriske potensial.

På samme måte er divergensen til curl av en vektor lik null. Dette følger også direkte fra definisjonene ved direkte utregning. Hvis B = × A, har vi altså automatisk at B = ⋅ ( × A) = 0. Formelt ser man dette ved å betrakte nabla som en vanlig vektor. Da kan vi skrive at ⋅ ( × A) = ( × ) ⋅ A = 0 da kryssproduktet × = 0. Grunnlaget for invarians under gaugetransformasjoner av Maxwells ligninger for det elektromagnetiske felt følger fra denne identiteten.

Laplace-operatoren[rediger | rediger kilde]

Denne kan enklest illustreres ved å betrakte det elektriske feltet E. Når dette er konstant, har vi tidligere nevnt at det er gitt som gradienten E = -  Φ hvor Φ er det elektriske potensialet. Fra Gauss' lov ⋅ E = ρ/ε0 ser vi at divergensen til det elektriske vektorfeltet er gitt ved den lokale ladningstettheten ρ(r). Kombinerer vi nå disse to uttrykkene, får vi at  Φ = - ρ/ε0. Og dette er nettopp Laplace-operatoren

 \nabla^2 = \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla} = {\partial^2 \over\partial x^2} \,+  {\partial^2 \over\partial y^2} \,+ {\partial^2 \over\partial z^2}

Uttrykt ved det elektrostatiske potensialet har vi derfor funnet ligningen ∇2 Φ = - ρ/ε0. Dette er Poissons differensialligning oppkalt etter den franske matematiker og fysiker Siméon Denis Poisson. Den er ofte lettere å løse enn den tilsvarende Maxwell-ligning for det elektriske feltet. Laplace-operatoren opptrer mange steder i klassisk fysikk, spesielt i bølgelingninger. I kvantemekanikken opptrer den bl.a. i Schrödinger-ligningen.

Når vi betrakter vektorer i kartesisk koordinatsystem, kan Laplace-operatoren virke på vektorfelt. Det er skjer når vi beregner curl av en curl. Ved å følge definisjonene og regne ut de deriverte, finner man da at resultatet kan skrives som

  \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times  \mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}

Dette følger også mer direkte ved å betrakte nabla som en vanlig vektor og så benytte det vektorielle trippelproduktet. I det siste leddet opptrer Laplace-operatoren hvor den virker på hver av komponentene til vektorfeltet. Denne identiteten kan brukes til å utlede bølgeligningen for det elektromagnetiske feltet slik den følger fra Maxwells ligninger.