Knuteteori

Trekløverknuten eller trikvetra har tre krysninger.

Knuteteori er den delen av topologien som beskriver de matematiske egenskapene til knuter. I motsetning til en vanlig knute på en snor hvor de to endene er frie (en knop), omhandler knuteteori lukkete knuter hvor endene av snoren er sammenfestet slik at knuten ikke kan knytes opp. Danner snoren en enkel sløyfe uten knuter, kalles sløyfen en nullknute og kan tegnes som en sirkel.

Matematisk beskrives en knute som en avbildning av sirkelen inn i det tredimensjonale, euklidske rommet E³. To knuter anses som identiske hvis den ene kan forandres kontinuerlig over i den andre uten at snoren den er laget av, kuttes opp eller går gjennom seg selv. Hvis rommet derimot hatt fire dimensjoner, kunne alle knuter deformeres på denne måten til nullknuten og dermed løsnes. Man kan derfor ikke knyte skoene sine i rom med mer enn tre dimensjoner.

En og samme knute kan se vidt forskjellig ut. Vanligvis fremstilles en knute ved et knutediagram som er en projeksjon av den på et plan. Hver slik projeksjon vil i alminnelighet se forskjellig ut. Der hvor to linjer krysser hverandre, kalles en krysning. Desto flere slike man har, desto mer komplisert kan knuten være. Men noen ganger kan den deformeres slik at noen eller alle krysningene forsvinner. Et fundamentalt problem i knuteteori er derfor å kunne avgjøre når to knutediagram representerer den samme knuten. Til det formål er det opp gjennom årene funnet stadig nye «knuteinvarianter» som er uavhengige av hvordan knuten beskrives. Dette er nå en sentral del av moderne topologi.

Whitehead-lenken har to komponenter som hver er nullknuter.

Det er vanlig å la knuteteori også omhandle lenker. Disse består av en eller flere knuter som er lenket sammen. Et vanlig, sirkulært bånd kan betraktes som en lenke med to komponenter hvor hver sidekant av båndet utgjør en knute og vanligvis fremstilles med hver sin farge. Et Möbius-bånd er derimot ingen lenke da dette bare har en sidekant.

Enhver 2-komponent lenke kan tilordnes et lenketall som er en topologisk invariant. Dette ble funnet av Gauss i 1833 og representerer begynnelsen av moderne knuteteori. Det ble gjenoppdaget av Maxwell i 1867 i forbindelse med den matematiske beskrivelsen av Ampères sirkulasjonslov for det magnetiske feltet.

Knuteteori har praktiske anvendelser i beskrivelsen av polymerer og deres forskjellige konfigurasjoner. Spesielt har dette vært nyttig i forbindelse med å forstå DNA-molekylet og hvordan det kan pakkes tett sammen i forskjellige celler. Dette molekylet kan ofte betraktes som en lenke bestående av to fosforiserte sukkerstrenger som danner et bånd. Et slikt bånd kan krølle seg opp i en knute som kan være vanskelig å løsne. Det tilsvarer den «båndsalat» som kan oppstå fra båndet i en kassettspiller når dette løsner fra spolen.

Historikk

Den matematiske beskrivelsen av knuter oppsto først på 1800-tallet i forbindelse med problemstillinger innen fysikk. Da Gauss oppdaget lenketallet i 1833, var dette i forbindelse med hans undersøkelse av jordmagnetismen og inspirert av Ampères sirkulasjonslov. Hans resultat for denne topologiske invarienten uttrykt som et dobbeltintegral over de to sammenlenkete delene, ble først kjent etter hans død i 1867.

Begge knutene er nullknuter, selv om den til høyre har to krysninger.

Denne interessen for knuter ble overtatt av Johann Benedict Listing som var en elev av Gauss og senere hans medarbeider. I denne forbindelsen skrev han verket Vorstudien zur Topologie som kom ut i 1847. Det var her ordet topologi for første gang ble benyttet. Tidligere hadde denne delen av matematikken blitt omtalt som geometria situs (posisjonsgeometri) og opprinnelig innført av Leibniz.

Men selve oppblomstringen av knuteteori fant sted i Skottland. Her var Peter Guthrie Tait ansatt ved Universitetet i Edinburgh og hadde oversatt arbeidene til Helmholtz om virvelbevegelse eller vorteksteori i ikke-viskøse væsker. Der hadde han hadde vist at ringvirvler var stabile, noe som Tait demonstrerte med røykringer. Dette fikk William Thomson (senere Lord Kelvin) i 1867 til å foreslå at atomene kunne bestå av stabile vorteks i eteren. Stabiliteten skulle da skyldes at de opptrådde som forskjellige knuter. Desto mer komplisert knuten var, desto tyngre skulle det tilsvarende atomet være. Det store antall spektrallinjer typisk for hvert atom skulle skyldes de ulike tilstander av rotasjon og vibrasjon for et slikt vorteksatom.

Primknuter med krysningstall opp til syv.

Dette inspirerte Tait til å klassifisere knuter på en systematisk måte. Han prøvde å finne alle knuter med opp til syv krysninger. Listen viste seg ikke å være fullstendig og ble senere utvidet av andre til å omfatte også mer kompliserte knuter. Disse detaljerte undersøkelsene til Tait etablerte knuteteori som en ny, matematisk disiplin. Maxwell fattet også interesse for denne aktiviteten, men stilte seg mer skeptisk til ideen om vorteksatom. Da Michelson-Morley-eksperimentet i 1887 viste at det ikke finnes noen eter, forsvant interessen for denne atommodellen ganske raskt.

Etter Henri Poincarés banebrytende oppdagelser innen topologien ved århundreskiftet tok knuteteori en mer analytisk retning. Deres klassifisering ble mer oversiktlig etter at Kurt Reidemeister i 1927 innførte veldefinerte transformasjoner av knutediagram som kunne forenkle hvert diagram til det med færrest krysninger. Man kunne nå også tilordne hver knute en chiralitet, avhengig av om den er lik sitt eget speilbilde eller ikke.

For å kunne skille forskjellige knuter med samme antall krysninger, ble det funnet forskjellige typer polynom som kunne kode denne ulikheten. Av disse er «Alexander-polynomene» og de relaterte «Conway-polynomene» de mest kjente. I nyere tid har spesielt de såkalte «Jones-polynomene» spilt en viktig rolle. På 1980-tallet viste Edward Witten at disse kunne beregnes ved Feynmans veiintegral basert på topologiske gaugeteorier i tre dimensjoner. Denne sammenhengen mellom kvanteteori og topologiske egenskaper til knuter har skapt stor interesse innen teoretisk fysikk i dag.

Krysningstall

For å kunne klassifisere knuter er krysningstallet K det enkleste og viktigste. Når knuten er avbildet ved forskjellige knutediagram, er krysningstallet definert som det minste antall krysninger som dermed fremkommer. Nullknuten har derfor krysningstallet K = 0. Krysningstallet er en topologisk invariant.

En av de to trekløverknutene.

Åttetallsknuten har K = 4.

Det finnes ingen knuter med krysningstall K = 1 eller 2. Den enkleste, ikke-trivielle knuten har K = 3. Denne kalles gjerne for «trekløverknuten» og tilsvarer den gamle trikvetrafiguren. Man kan lage den ved å feste sammen endene til en burknop. Da trekløverknuten kan skilles fra sitt eget speilbilde hvor underkrysninger går over i overkrysninger og omvendt, har den en bestemt chiralitet. Vanligvis skiller man ikke mellom disse to versjonene.

Hvis man fester sammen endene til en åttetallsknop, fremkommer «åttetallsknuten». Den har krysningstall K = 4 og er identisk med sitt eget speilbilde. Det finnes ingen andre knuter med samme krysningstall.

Øker krysningstallet ut over 4, finner man stadig flere knuter. Noen av disse kan forenkles ved å betrakte dem som sammensatt av enklere primknuter. Disse spiller samme rolle som primtallene i tallteori. Klassifisering av alle knuter blir dermed redusert til å finne alle primknutene. Dette programmet ble startet allerede av Tait og har fortsatt frem til i dag og fullført for primknuter med K ≤ 16.

Denne knuten er satt sammen av en trekløverknute 3₁ til venstre og en åttetallsknute 4₁ til høyre. De er begge primknuter.

For hvert krysningstall K > 4 finnes det flere enn en primknute. Det er derfor blitt vanlig å angi dem med notasjon K_n  hvor n = 1,2,3,... angir hvilken primknute man mener med krysningstallet K. Her skilles det ikke mellom «chirale» og «achirale» knuter. I denne notasjonen finnes det derfor bare en trekløverknute 3₁. Det finnes også bare en knute med krysningstall K = 4, og det er åttetallsknuten 4₁. Men det er to primknuter 5₁ og 5₂ med krysningstall K = 5 og tre med K = 6. Mens det er syv med K = 7, øker antallet stadig raskere for større krysningstall. Mens det er 165 primknuter med K = 10, er det hele 1 388 705 med K = 16.

Reidemeister-bevegelser

En og samme knute kan fremstilles på et stort antall forskjellige måter avhengig av hvordan den projiseres på et plan. Knutediagrammene som på den måten fremkommer, vil i alminnelighet derfor ha forskjellige antall krysninger, og det er ikke uten videre opplagt hvordan man kan vite at to diagram beskriver den samme knuten. To slike diagram sies da å være «isotope».

Reidemeister-bevegelser:

Type-1	Type-2
Type-3

I 1927 viste den tyske matematiker Kurt Reidemeister at alle isotope diagram kan genereres ved tre basale forforflytninger eller bevegelser av linjene i et diagram. Dette kan benyttes til å ordne alle knutediagram i ekvivalensklasser som tilsvarer forskjellige knuter i rommet.

Den første Reidemeister-bevegelsen med navnet Type-1 tilsvarer at en liten del av snoren som utgjør knuten, vrides om seg selv. På den måten omstår det en sløyfe i knutediagrammet slik at antall krysninger øker med en. Tilsvarende kan denne bevegelsen også redusere antall krysninger med samme beløp. I en Type-2 bevegelse flyttes to buer som ligger over eller under hverandre i diagrammet, slik at de ikke lenger krysser hverandre. Antall krysninger reduseres dermed med to. På samme måte kan denne bevegelsen øke antall krysninger med to. Ved den siste bevegelsen av Type-3 flyttes en linje i diagrammet over eller under en krysning uten at antall krysninger forandres.

I arbeidet med å klassifisere forskjellige knuter ved å kunne tilordne dem bestemte «knuteinvarianter», har Reidemeister-bevegelsene hatt stor betydning. Det er da kun nødvendig å vise at de forblir uforandret under disse tre bevegelsene. Er det tilfelle, har de samme verdi for alle fremstillinger av knuten ved forskjellige knutediagram.

Jones-polynom

Krysningstallet K er per definisjon en knuteinvariant. Men for høyere krysningstall er det vanligvis mange forskjellige knuter med samme krysningstall. For å skille disse har mye av knuteteori bestått av søken etter andre matematiske størrelser som er invariante og kan benyttes i denne sammenhengen. Mest vellykket har etableringen av forskjellige polynom som kan tilordnes hver knute. De ble i stor grad funnet ved bruk av de tre Reidemeister-bevegelsene og kombinatorikk.

Av disse er Jones-polynomene de nyeste og har vært av størst interesse i nyere tid. De ble etablert i 1984 av den newzealandske matematiker Vaughan Jones. De viste seg i tillegg å kunne relateres til diskrete, todimensjonale spinn-modeller i statistisk fysikk og topologiske gaugeteorier i tre dimensjoner.

Jones-polynomet er definert slik at for nullknuten skal det være V(q) = 1. For de fleste ikke-trivielle knuter er det vanligvis et «Laurent-polynom» da det kan inneholde også negative potenser av q. Denne variable kan tilordnes en verdi i de fysiske modellene hvor disse topologiske polynomene opptrer.

Det finnes rekursive metoder for systematisk beregning av Jones-polynom. Mens det for en høyrevridd trekløverknute er

$V_{3/1}(q)=q+q^{3}-q^{4}$,

vil det være q ^- 1 + q ^- 3 - q ^- 4 for den tilsvarende venstrevridde utgaven av knuten. De to polynomene er forbundet med transformasjonen q → q ^-1. Derimot for åttetallsknuten 4₁ er Jones-polynomet

$V_{4/1}(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}$

som er invariant under denne substitusjonen. Det tilsvarer at åttetallsknuten er lik med sitt eget speilbilde.

For krysningstall K = 5 er der to forskjellige knuter. For den ene 5₁ er Jones-polynomet

$V_{5/1}(q)=-q^{-7}+q^{-6}-q^{-5}+q^{-4}+q^{-2}$,

mens primknuten 5₂ kan tilordnes polynomet

$V_{5/2}(q)=-q^{-6}+q^{-5}-q^{-4}+2q^{-3}-q^{-2}+q^{-1}$.

Ved å kjenne Jones-polynomene til de enkleste primknutene, kan man finne polynomene for sammensatte knuter ved direkte multiplikasjon av polynomene for primfaktorene.

Se også

• Knop
• Knute

Litteratur

• A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard University Press, Cambridge MA (2002). ISBN 0-674-00944-4.

Eksterne lenker

• University of Wales, Mathematics and Knots, litt av hvert om knuter, presentert av Division of Mathematics, School of Informatics, University of Wales, Bangor.
• Wolfram MathWorld, Knot, med nyttige lenker.
• A. Ranicki, Knot Theory, University of Edinburgh webside med originale arbeider.
• J. Roberts, Knots Knotes, UCSD lecture notes.