Diameter

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk
Sirkelillustrasjon med omkretsen (C) i svart, diameteren (D) i turkis, radius i rødt og senter, eller origo, (O) i lilla.

I geometri er diameter i en sirkel eller kule lengden av et rett linjesegment som går gjennom sentrum og hvor begge endepunktene ligger på omkretsen eller kulens overflate. Diameteren vil også være den lengste korden i en sirkel, og lengden er lik to ganger lengden av radius.

Generalisering[rediger | rediger kilde]

Ved en projeksjon vil en sirkel forandres til en ellipse eller et annet kjeglesnitt. Disse kurvene kan derfor også sies å ha en diameter. I allminnelighet defineres en diametral linje for en kurve som midtpunktet av parallelle korder. Vanligvis er denne linjen ikke rett, men en kurve. Men for kjeglesnittene kan det vises at de diametrale linjene er rette linjer, og de kalles for diametre. De ble først studert systematisk av den greske matematiker Apollonios for over to tusen år siden. Som for sirkelen har hvert kjeglesnitt uendelig mange diametre. Hver av dem går gjennom kjeglesnittets sentrum.

Konjugerte diametre[rediger | rediger kilde]

Konjugerte diametre i en ellipse. Den er innskrevet i et tangentparallellogram.

For et kjeglesnitt er to diametre konjugerte hvis kordene som er parallelle til den ene diameteren, halveres av den andre. Ut fra dette følger at tangenten til kjeglesnittet i de to punktene en diameter skjærer kjeglesnittet, vil være parallell med den konjugerte diameteren. For en ellipse vil derfor hvert par av konjugerte diametre gi opphav til et tangentparallellogram. Disse har alle samme areal, et resultat som går tilbake til Apollonios.

Diameter (rød) i en parabel som midtpunktet av parallelle korder.

For en sirkel står to konjugerte diametre vinkelrett på hverandre. Det betyr at tangentparallellogrammet er et kvadrat med sidekant like stor som selve diameteren.

Når kjeglesnittet er en hyperbel, vil man kunne trekke parallelle korder som ligger på begge av dens to grener. Deres halveringslinje vil gå gjennom hyperbelens sentrum, men den vil ikke selv være en korde. Derimot vil den være en korde i den konjugerte hyperbelen.

For en parabel vil også alle diametrene gå gjennom dens sentrum. Men da dette ligger uendelig langt borte i retning av dens akse, vil de alle være parallelle med aksen. Dette kommer tydelig frem i figuren til høyre. Da parabelens sentrum ligger uendelig langt borte, er også her som i ellipsen hver diameter en korde.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, vol. III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).