Sentralgrenseteoremet

Sentralgrenseteoremet er et sentralt teorem innen matematisk statistikk. Teoremet sier at en sum av uavhengige og identisk fordelte tilfeldige variabler går mot en normalfordeling når antallet går mot uendelig.

Definisjon

La X₁, X₂, … være en uendelig følge av uavhengige, likt fordelte, stokastiske variabler med forventningsverdi μ og standardavvik σ > 0. Vi innfører en stokastisk variabel for å betegne summen av de første n variablene i følgen:

$Y_n = X_1 + X_2 + \ldots + X_n$

Da er $\lim_{n \rightarrow \infty} Y_n$ normalfordelt med forventningsverdi nµ og varians $\sigma \sqrt{n}$ :

$\lim_{n \rightarrow \infty}\; P\left(a < \frac{Y_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} < b\right) = P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$

der Z er standardnormalfordelt og Φ betegner fordelingssfunksjonen for en standardisert normalfordeling.

Alternativ og ekvivalent definisjon

Hvis X er gjennomsnittet av n uavhengige identisk fordelte stokastiske variabler X_i,

$\overline{X}={1 \over n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad E(X_i)=\mu, \quad Var(X_i)=\sigma^2$

Da er $\lim_{n \rightarrow \infty} \overline{X}$ normalfordelt med forventningsverdi µ og varians $\sigma \over \sqrt{n}$ :

${{\overline X - \mu} \over {\sigma \over \sqrt{n}}} \ \stackrel{D}{\rightarrow}\ Z , \quad {n \rightarrow \infty}$