Sentralgrenseteoremet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Sentralgrenseteoremet er et sentralt teorem innen matematisk statistikk. Teoremet sier at en sum av uavhengige og identisk fordelte tilfeldige variabler går mot en normalfordeling når antallet går mot uendelig.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

La X1, X2, … være en uendelig følge av uavhengige, likt fordelte, stokastiske variabler med forventningsverdi μ og standardavvik σ > 0. Vi innfører en stokastisk variabel for å betegne summen av de første n variablene i følgen:

Y_n = X_1 + X_2 + \ldots + X_n

Da er \lim_{n \rightarrow \infty} Y_n normalfordelt med forventningsverdi nµ og standardavvik \sigma \sqrt{n} :


\lim_{n \rightarrow \infty}\;
  P\left(a < \frac{Y_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} < b\right)
  = P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

der Z er standardnormalfordelt og Φ betegner fordelingssfunksjonen for en standardisert normalfordeling.

Alternativ og ekvivalent definisjon[rediger | rediger kilde]

Hvis X er gjennomsnittet av n uavhengige identisk fordelte stokastiske variabler Xi,

\overline{X}={1 \over n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad E(X_i)=\mu, \quad Var(X_i)=\sigma^2

Da er \lim_{n \rightarrow \infty} \overline{X} normalfordelt med forventningsverdi µ og standardavvik \sigma \over \sqrt{n} :

{{\overline X - \mu} \over {\sigma \over \sqrt{n}}} \ \stackrel{D}{\rightarrow}\ Z , \quad {n \rightarrow \infty}