Følge (matematikk)

Områder i analyse

Differensialligninger

Funksjonalanalyse

Funksjoner av flere variable

Matematisk analyse

Kontinuitet Grenseverdier Følger Rekker Derivasjon Integrasjon

Komplekse funksjoner

En følge er i matematikk en ordnet liste av objekter i en mengde. Antall objekter eller ledd i følgen kan være endelig eller tellbart uendelig, og det vil si at objektene kan nummereres ved hjelp av de naturlige tallene.

Dersom det n-te leddet i en uendelig følge i et metrisk rom nærmer seg en grenseverdi når n øker, sies følgen å være konvergent. En følge som ikke er konvergent er divergent. Følger opptrer i alle områder av matematikk, og studiet av følger er en viktig del av matematisk analyse. Konvergente følger spiller en spesielt viktig rolle, blant annet i definisjonen av irrasjonale tall.

Følger der elementene er reelle eller komplekse tall kalles ofte tallfølger. Tilsvarende er en funksjonsfølge en følge der elementene er funksjoner. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences er en database over følger av heltall.

En rekke er definert som summen av en endelig eller uendelig følge.

Formell definisjon

En uendelig følge er en funksjon fra mengden av de naturlige tallene N:

$f(n) = x_n \ \ n \in N$

Følgen sies å være definert i mengden V, der V er verdiområdet til funksjonen. Funksjonsverdiene $x_n$ kalles leddene i følgen.

Alle de følgende eksemplene indikerer vanlig notasjon for en følge:

$\{ x_n \} \qquad \quad \{ x^n \} \qquad \quad \{ x_n \}_{n=1}^\infty \qquad \quad \{x_n|n\in \mathbb{N}\} \qquad \quad x_1, x_2, x_3, \dots$

For en endelig følge brukes en endelig delmengde av N som indeksmengde istedenfor N. Vanligvis brukes mengden $\{1,\ldots,n\}$ eller mengden $\{0,\ldots,n-1\}$ for en følge med n elementer.

Grenseverdi og konvergens

En følge $\{ x_n \}$ i et metrisk rom konverger mot en grenseverdi x dersom det for en hver verdi av epsilon $\epsilon$ eksisterer et heltall N slik at

$n > N \Rightarrow d(x_n,x) < \epsilon \,$

der d er metrikken. Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

$\lim_{n \to \infty} x_n = x \,$.

Definisjonen kan kompakt skrives som

$\lim_{n \to \infty} x_n = x \iff ( \forall \epsilon > 0 )( \exists N \in \mathbb{N})( n > N \Rightarrow d(x_n,x) < \epsilon )$

Cauchyfølger

En Cauchyfølge eller en fundamentalfølge er en følge i et metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg.

Et metrisk rom sies å være komplett dersom enhver Cauchyfølge i rommet konvergerer mot en grenseverdi som er inneholdt i rommet. Mengden av reelle tall er komplett, mens mengden av rasjonale tall ikke er det.

Begrensede følger

En følge $\{ x_n \}$ i et metrisk rom er begrenset dersom verdiområdet er begrenset. Det vil si at det eksisterer et element x i det metriske rommet og en konstant M slik at

$d(x,x_n) < M \,$.

Enhver konvergent følge er begrenset.

Monotone følger

En følge av reelle tall $\{ x_n \}$ er monoton dersom den er opptil eller nedtil monoton:

$\begin{array}{lll} x_n &\le x_{n+1} &\mbox{Opptil monoton} \\ x_n &< x_{n+1} &\mbox{Strengt opptil monoton} \\ x_n &\ge x_{n+1} &\mbox{Nedtil monoton} \\ x_n &> x_{n+1} &\mbox{Strengt nedtil monoton} \\ \end{array}$

En opptil monoton følge kalles også monotont voksende. En monotont avtagende følge er det samme som en nedtil monoton følge.

En monoton følge er konvergent hvis og bare hvis den er begrenset.

Delfølger

En delfølge er avledet fra en følge $\{ x_n \}$ ved å velge ut en delmengde av leddene, men beholde rekkefølgen. La $\{ n_k \}$ være en monoton voksende følge av naturlige tall. En delfølgen kan da skrives som

$\{ x_{n_k} \}$

Som eksempel er $\{1/(2n)\}$ en delfølge av følgen $\{1/n\}$.

Dersom delfølgen er konvergent med grenseverdi x, sier en at x også er en delfølgegrense for følgen $\{ x_n \}$.

Bolzano-Weierstrass' teorem kan formuleres som at en hver begrenset følge av reelle tall inneholder en konvergent delfølge.

Cauchyprodukt

Cauchyproduktet av to følger $\{ a_n \}$ og $\{ b_n \}$ er definert som en ny følge $\{ c_n \}$ der hvert ledd er definert ved summasjonen

$c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.$

Eksempler

Eksempel 1: Aritmetiske følger

En aritmetisk følge er en tallfølge der differensen mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

$a_n = a_{n-1} + d \,$

Aritmetiske følger er divergente for alle verdier av konstanten d ulik null.

Eksempel 2: Geometriske følger

En geometrisk følge er en tallfølge der forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

$a_n = k a_{n-1} \,$

Følgene konvergerer mot null dersom absoluttverdien av konstanten k er mindre enn 1.

Eksempel 3: Harmoniske følger

I en harmonisk følge er leddene definert som inversen av leddene i en aritmetisk følge. Dersom følgen $\{ b_n \}$ er en aritmetisk følge med ledd ulik null, så vil $\{ a_n \} = \{1 / b_n\}$ være en harmonisk følge. Leddene i en harmonisk følge kan defineres ved

$a_n = {a_0 \over 1 + nd} \,$

der d er en konstant slik at (-1/d) ikke er et naturlig tall.

Eksempel 4: Fibonaccifølge

En fibonaccifølge er definert rekursivt ved

$a_n = \begin{cases} 0 & \mbox{hvis }n=0 \\ 1 & \mbox{hvis }n=1 \\ a_{n-1}+a_{n-2} & \mbox{ellers} \end{cases}$

Fibonaccifølgen er divergent.

Eksempel 5: Følge for Eulertallet

$\lim_{n\to\infty} ( 1 + {1 \over n})^n = e$

Grenseverdien er Eulertallet e.

Eksempel 6

$\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$

Eksempel 7

$\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ hvis } a>0$

Se også

• Primtallsørken

Litteratur

• Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill International Book Co., Singapore. ISBN 0-07-085613-3.