Kovarians

Kovarians er et mål på den lineære avhengigheten mellom to varierende størrelser.

Teoretisk kovarians

Teoretisk kovarians er et mål på den underliggende lineære avhengigheten mellom to stokastiske variabler. Kovariansen mellom X og Y noteres ofte som σ_XY. For to stokastiske variabler X og Y er kovariansen definert som

$\operatorname{Cov}[X, Y] = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]$

der $E[\cdot]$ er forventning.

Empirisk kovarians

Empirisk kovarians er et estimat av teoretisk kovarians. En estimator for den empiriske kovariansen er

$\widehat{\operatorname{Cov}}[X, Y] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x_n)(y_i-\bar y_n)$

der $\bar x_n$ er gjennomsnittet av $x_1,x_2,\dots,x_n$ og $\bar y_n$ er gjennomsnittet av $y_1,y_2,\dots,y_n$.

Egenskaper

Kovariansen er avhengig av måleskalaen, slik at om skalaen endres vil kovariansen endres. Derfor er korrelasjon, som ikke er avhengig av skala, et godt alternativ til å måle lineær avhengighet.

For vilkårlige konstanter a og b og stokastiske variabler X og Y gjelder

1. $\operatorname{Cov}[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y]$
2. $\operatorname{Cov}[aX + b, cY + d] = ac\,\operatorname{Cov}[X, Y]$