Opphopningspunkt

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Et opphopningspunkt (akkumuleringspunkt, grensepunkt) er i matematikk et element i en mengde som han uendelig mange andre elementer i en mengden nær seg. Et opphopningspunkt kan dermed tilnærmes med andre elementer i mengden, og et opphopningspunkt kan betraktes som en generalisering av en grenseverdi.

I en formell matematisk definisjon må en presisere hva en mener med «nær» og «tilnærme». Dette lar seg gjøre i et metrisk rom, der en har definert et avstandsmål, en metrikk. Opphopningspunkt er også viktige i topologi.

Et opphopningspunkt til en delmengde trenger ikke selv være et element i mengden, men det eksisterer da uendelig mange elementer i delmengden nær punktet. Prosessen å utvide en mengde S til å inneholde alle sine opphopningspunkter kalles en tillukning av S og skrives cl(S), Cl(S), \scriptstyle\bar{S} eller S^-. En mengde som inneholder alle sine opphopningspunkter kalles lukket, og for slike mengder er cl(S) = S.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Både for metriske rom og for topologiske rom defineres opphopningspunkt formelt ved hjelp av begrepet omegn:

Et element p i mengden V er et opphopningspunkt for delmengden W i V dersom en hver punktert omegn om p inneholder et element q i fra W.

Et element som ligger i W og som ikke er et opphopningspunkt for W, kalles for et isolert punkt.

Bolzano-Weierstrass’ teorem[rediger | rediger kilde]

Bolzano-Weierstrass teorem kan for reelle tall formuleres som at hver begrenset uendelig mengde av reelle tall har minst ett opphopningspunkt.

Teoremet er navnsatt etter Bernard Bolzano og Karl Weierstrass.