L'Hôpitals regel

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

L'Hôpitals regel er en regel innenfor matematikken som brukes til å bestemme grenseverdier av ubestemmelige uttrykk som 0⁰, 0/0, ∞/∞ og lignende. Regelen sier at en kan finne grenseverdien ved å derivere teller og nevner i utrykket hvis det står på formen 0/0 eller ∞/∞.

[rediger] Regel

Gitt funksjonene f(x) og g(x)

$\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0.\,$

eller:

$\lim_{x \to c}f(x)=\pm\lim_{x \to c}g(x)=\pm\infty,\,$

Er grenseverdien gitt ved:

$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

[rediger] Eksempler

Et enkelt eksempel på bruk av L'Hôpitals regel:

$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2}{2x^2} = \lim_{x\to\infty}\frac{6x}{4x} = \lim_{x\to\infty}\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Et litt mer komplisert utrykk er gitt ved følgende ligning:

$\begin{align} \lim_{x\to 0} {2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x} & =\lim_{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x} \\ & = \lim_{x\to 0}{-2\sin x +4\sin 2x \over \sin x} \\ & = \lim_{x\to 0}{-2\cos x +8\cos 2x \over \cos x} \\ & ={-2\cos 0 +8\cos 0 \over \cos 0} \\ & =6 \end{align}$