Lorentz-kraft

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Lorentzkraft)
Hopp til navigering Hopp til søk
Lorentz-kraften F virker på en ladning q som har hastighet v i en kombinasjon av elektrisk E og magnetisk B felt.

Lorentz-kraften er den kraften som virker på en elektrisk ladning som befinner seg i et elektromagnetisk felt. Mens den elektriske delen av kraften er uavhengig av ladningens bevegelse, er størrelsen til den magnetiske delen proporsjonal med ladningens hastighet og avhengig av retningen til bevegelsen. Kraften er oppkalt etter den nederlandske fysiker Hendrik Antoon Lorentz.

Betegnes det elektriske feltet med E og det magnetiske feltet med B, er Lorentz-kraften F som virker på ladningen q gitt ved det matematiske uttrykket

når ladningen har hastighet v. Da den elektriske kraften qE definerer det elektriske feltet, blir ofte Lorentz-kraften forbundet med kun den magnetiske delen. Dens størrelse involverer et vektorielt kryssprodukt som betyr at kraften er maksimal i størrelse når ladningen beveger seg vinkelrett på magnetfeltet. Den er av samme grunn null når ladningen beveger langs dette feltet. Kraftens retning finnes ved bruk av høyrehåndsregelen. Formelen for kraften er også gyldig når feltene varierer med tiden.

Lorentz-kraften er i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori. Den kan der forklares som et resultat av hvordan Coulomb-kraften opptrer i et inertialsystem som beveger seg. Formelt beskrives denne situasjonen ved en Lorentz-transformasjon.

I alle system hvor elektriske ladninger befinner seg i et magnetfelt, spiller Lorentz-kraften en avgjørende rolle. Den benyttes i gammeldagse TV-apparat til å fokusere elektronstrålen i bilderøret og avbøyer de ladete partiklene som akselereres i syklotroner og andre partikkelakseleratorer. På samme måte blir elektroner fra Solen styrt inn mot nordlige breddegrader av det jordmagnetiske feltet slik at det dannes nordlys i de områdene.

Historie[rediger | rediger kilde]

Sammenhengen mellom elektriske strømmer og magnetfelt ble først systematisk undersøkt av Ørsted og Ampère på begynnelsen av 1800-tallet. Et magnetfelt B ble vist å utøve en kraft på en strømførende ledning. Hvis den fører strømmen I gjennom et lite stykke med lengde ds som befinner seg i feltet, kan kraften på dette strømelementet skrives som

Dette resultatet gir en kompakt sammenfatning av Ampères kraftlov som har en lang og omstendelig historie.[1] Det lyktes å finne denne loven selv om man på den tiden ikke hadde noen detaljert kunnskap om hva en elektrisk strøm besto av.

Men etter mange år med arbeider, spesielt innen kjemisk elektrolyse, ble det på slutten av århunderet klart at strømmen besto av ladete elektroner. Den magnetiske kraften på en elektrisk strøm kunne da forståes som feltets virkning på hver av disse partiklene. Resultatet ble presentert av Lorentz i 1892 og kan utledes direkte fra Ampères kraftlov. Hvis en liten ladning dq i løpet av den korte tiden dt går gjennom et ledningselement ds med hastigheten v, vil man ha at ds = vdt. Men da strømmen i dette tilfellet er I = dq/dt, vil uttrykket for kraften på strømelementet kunne omformes til dF = dqv × B. For en endelig stor ladning blir da formelen for den magnetiske kraften

Selv om samme resultat var funnet av Maxwell og Heaviside flere år tidligere,[2] har dette uttrykket blitt oppkalt etter Lorentz som gjennom sine publikasjoner gjorde det kjent.[3]

En mer generell utledning av Lorentz-kraften ble presentert av Schwarzschild i 1903.[4] Han baserte sin beregning på den potensielle energien for et elektron som befinner seg i en kombinasjon av elektriske og magnetiske felt. Ved bruk av Lagrange-mekanikk kom han dermed frem til den generelle formen til kraftloven. Siden den elektromagnetiske vekselvirkningen han benyttet, viste seg å være invariant under Lorentz-transformasjoner, er derfor også Lorentz-kraften i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori.[5]

Partikkeldynamikk[rediger | rediger kilde]

En ladning q med hastighet v vil avbøyes oppover når den er negativ og nedover når den er positiv i et magnetfelt B som kommer ut av papirplanet.

Når Lorentz-kraften virker på en partikkel med hastighet v, vil den utføre et arbeid som er proporsjonal med vF. Da den magnetiske delen v × B av kraften står vinkelrett på hastigheten, vil denne kraften derfor ikke bevirke noe arbeid slik at partikkelens energi forblir konstant.

Mer formelt følger det fra Newtons andre lov. Så lenge partikkelen med masse m beveger seg ikke-relativistisk, sier den at mdv/dt = F. Multipliseres denne ligningen med v, blir dermed

Hvis det elektriske feltet E = 0, er derfor den kinetiske energien K = mv2/2  til partikkelen konstant. Men det forutsetter at det magnetiske feltet B ikke varierer med tiden. Hvis ikke, vil det skape et elektriske felt som en konsekvens av Faradays induksjonslov  × E = - ∂B/∂t.

Et konstant, elektrisk felt kan uttrykkes ved et elektrisk potensial som E = -  Φ. Ved å benytte at v Φ = d Φ/dt, følger at

Den totale energien til partikkelen er derfor bevart i dette mer generelle tilfellet med elektriske og magnetiske felt som ikke forandrer seg med tiden.

Syklotronbevegelse[rediger | rediger kilde]

Illustrasjon på en husvegg i Leiden av partikkelbevegelse forårsaket av Lorentz-kraften.

I et konstant, magnetisk felt er bevegelsen til partikkelen gitt ved ligningen

Da Lorentz-kraften virker normalt på retningen til B-feltet som kan tas å være langs z-aksen, vil komponenten av hastigheten v langs denne retningen forbli uforandret. Derimot vil de to transverse komponentene vT = (vx,vy) forandre retning på en måte som følger fra

hvor vektoren

er konstant. Denne sammenhengen viser at hastigheten vT  roterer om magnetfeltet B med syklotronfrekvensen ω = |ω| = qB/m. Dette er prinsippet som benyttes i syklotronen og i andre partikkelakseleratorer.

Under denne rotasjonen forblir størrelsen av hastigheten den samme, bare dens retning forandres. Det kan sees mer direkte ved å innføre partikkelens posisjon r. Da kan dens hastighet skrives som vT = dr/dt. Bevegelsesligningen lar seg dermed direkte integereres og gir

Hastigheten står derfor alltid normalt på posisjonsvektoren, noe som viser at partikkelen beveger seg i en sirkel med vinkelfrekvens lik med ω. Radius r til denne sirkelbevegelsen blir ofte omtalt som gyroradius. I et magnetfelt med en gitt størrelse bestemmer den energien til partikkelen da denne er proporsjonal med kvadratet av hastigheten.

Kartesisk beskrivelse[rediger | rediger kilde]

Ved å skrive ut bevegelsesligningene for de to kartesiske hastighetskomponentene vx  og vy, fremkommer de to første ordens differensialligningene

Etter å ha tatt den tidsderiverte av den første ligningen hvor så den siste blir satt inn, står man igjen med

.

som er svingeligningen for en harmonisk oscillator. Da den er av andre orden, vil dens løsning inneholde to integrasjonskonstanter. De kan man for eksempel fastsette ved å anta at partikkelen krysser x-aksen ved tiden t = 0 med hastigheten vT. Den betingelsen gir at vx = vT sinωt som igjen medfører at vy = vT cosωt. Dermed er også kravet vx2 + vy2 = vT2 oppfylt. Begge hastighetskomponentene varierer derfor harmonisk med tiden med en periode gitt ved syklotronfrekvensen som T = 2π /ω. Tilsammen beskriver de bevegelsen til partikkelen i en sirkulær bane normalt på magnetfeltet.

Elektromagnetisk induksjon[rediger | rediger kilde]

Beveger lederen seg i magnetfeltet, flyttes ladningene slik at det induseres et elektrisk felt.

Lorentz-kraften kan gi seg utslag på mange forskjellige måter. Et eksempel er elektromagnetisk induksjon hvor en ledning beveger seg med hastigheten v i et magnetfelt B slik at det oppstår en elektromotorisk spenning i den. Kraften vil påvirke ladningene i lederen slik at de forflyttes. Dermed oppstår det et elektrisk felt E i den. Når dette blir sterkt nok, vil forflytningen av ladning opphøre. Da har man likevekt i ledningen definert av at totalkraften F = q(E + v × B) = 0. Det betyr at det induserte, elektriske feltet er gitt som E = - v × B. Står hastigheten og feltet vinkelrett på hverandre, er derfor den induserte spenningen over en lengde L av ledningen. Dette er samme resultat som kommer frem ved bruk av Faradays induksjonslov basert på forandringen av den magnetiske fluksen som lederen omslutter.[5]

Lorentz-kraften forklarer Lenz' lov for en leder som beveges i et magnetfelt.

Når ladningene i ledningen kan bevege seg fritt med hastighet v1, vil de påvirkes av Lorentz-kraften F1 = qv1× B  som gir dem en indusert hastighet v2 vinkelrett på v1. Den igjen gir opphav til en ny Lorentz-kraft F2 = qv2× B  som har motsatt retning av den opprinnelige bevegelsen av lederen og prøver å motvirke denne. Dette er forklaringen på Lenz' lov i dette tilfellet.

Dette er også samme mekanismen som virker i Hall-effekten. Her ledes strøm gjennom et materiale vinkelrett på et magnetisk felt. Igjen vil det bygges opp i elektrisk felt i materialet med en retning som er avhengig av fortegnet til ladningsbærerne i materialet. Disse kan være elektroner med negativ ladning eller hull som oppfører seg som partikler med positiv ladning. I det ene tilfellet blir den induserte spenningen positiv og i det andre tilfellet negativ. På den måten har man påvist at ladningsbærne i kobber er elektroner, mens de i zink er hovedsakelig positive hull.[6]

Relativitetsteori[rediger | rediger kilde]

Lorentz uviklet sin Elektronteori basert på eksistensen av eter som definerer et bestemt inertialsystem hvor Maxwells ligninger er gyldige.[7] Noen år senere viste Einstein at man ikke behøver noen eter og at ligningene er gyldige i alle inertialsystem Det betyr også at uttrykket for Lorentz-kraften er gyldig i slike system når den uttrykkes ved hastigheter og felt som måles i det samme systemet.

En konsekvens av hans spesielle relativitetsteori er at et magnetfelt B som finnes i et inertialsystem, vil også observeres i et annet inertialsystem som beveger seg med hastigheten v, men sammen med et nytt elektrisk felt E = v × B så lenge hastigheten v er mye mindre enn lyshastigheten c. Dette induserte feltet vil flytte ladningen i en leder som befinner seg i ro i det bevegelige inertialsystemet og dermed bygge opp en elektromotorisk spenning i denne.

På samme måte vil et elektrisk felt E i det første inertialsystemet gi opphav til et magnetisk felt B = - v × E/c 2  i det andre inertialsystemet. Det var ikke uten grunn at Einstein kalte den opprinnelige artikkelen om den spesielle relativitetsteorien for Zur Elektrodynamik bewegter Körper (Elektrodynamikk til bevegte legemer). Han viste her at det elektromagnetiske feltet vil være hovedsakelig elektrisk eller magnetisk avhengig av hvem som observerer det.

Kontinuerlig ladningsfordeling[rediger | rediger kilde]

Lorentz-kraften som virker på et lite volumelement dV i en ladningsfordeling med tetthet ρ og strømtetthet J = ρv, kan uttrykkes ved volumkraften f = ρE + J × B

Hvis man betrakter et system bestående av en kontinuerling fordeling av partikler med ladningstetthet ρ = ρ(x,t), vil ladningen i et lite volumelement dV være dq = ρdV. Kraften som virker på partiklene i dette volumelementet er da dF = ρ(E + v × B)dV  hvor v = v(x,t) er hastighetsfeltet som sier hvordan partiklene beveger seg. Her vil nå J = ρv  være strømtettheten i ladningsfordelingen.

Denne formen for den differensielle Lorentz-kraften gjør det naturlig å uttrykke den ved en volumkraft

som virker på hvert differensielt volumelement dV av ladningsfordelingen. Man kan her bruke Maxwells ligninger til å uttrykke ladningstettheten ρ og strømtettheten J ved de elektromagnetiske feltene slik at volumkraften tar formen

hvor S = E × H  er Poyntings vektor som angir strømmen av energi fra ladningsfordelingen når feltene varierer med tiden. I tillegg er Maxwells spenningstensor som gjør det mulig å beregne de elektromagnetiske kreftene som virker både inni og utenpå ladningsfordelingen.[8]

Den totale Lorentz-kraften er gitt ved det tredimensjonale volumintegralet

som går over hele rommet hvor ladningene befinner seg. Det spiller en viktig rolle innen plasmafysikken.

Matematisk utledning[rediger | rediger kilde]

Grunnen til at Lorentz-kraften er konsistent med Einsteins relativitetsteori, er at den kan utledes fra en Lagrange-funksjon som er invariant under Lorentz-transformasjoner. For en relativistisk partikkel med hastighet v kan den skrives som

hvor Φ er det elektriske potensialet og A det magnetiske vektorpotensialet. De inngår i den elektromagnetiske vekselvirkningen på en slik måte at den er invariant under gaugetransformasjoner.

I Euler-Lagrange-ligningen

hvor v = dx/dt, inngår den kanoniske impulsen

sammen med

Ved å benytte at

sammen med vektoridentiteten

kommer man dermed fram til bevegelsesligningen

På venstre side inngår den tidsderiverte av den relativistiske impulsen til partikkelen som er mv ved lave hastigheter. Lorentz-kraften opptrer på høyre side av resultatet med det elektriske feltet E = - Φ - A/∂ t og det magnetiske feltet B =  × A.

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ R.A.R. Tricker, Early Electrodynamics, Pergamon Press, London (1965).
  2. ^ O. Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford University Press, Oxford (2003). ISBN 0-19-850593-0.
  3. ^ H.A. Lorentz, The Theory of Electrons, B.G. Teubner, Leipzig (1916).
  4. ^ K. Schwarzschild, Zur Elektrodynamik. I: Zwei Formen des Princips der kleinsten Action in der Elektronentheorie, Gött. Nach., Math.-Phys. Kl. 126-131 (1903).
  5. ^ a b D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
  6. ^ N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics, Holt-Saunders International Editions, Tokyo (1981). ISBN 0-03-049346-3.
  7. ^ Salmonsens Konversationsleksikon (1915-1930), Elektronteorien, Bind VII, Projekt Runeberg elektronisk utgave.
  8. ^ C.A. Brau, Modern Problems in Classical Electrodynamics, Oxford University Press, Oxford (2004). ISBN 0-19-514665-4.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]