Plan (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
To plan i det tre-dimensjonale rommet

Et plan eller en plan flate er i matematikk et geometrisk objekt med den egenskapen at en rett linje gjennom to vilkårlige punkt i planet er inneholdt fullt og helt i planet. Planet har uendelig utstrekning i to uavhengige retninger, men har null tykkelse. Et plan er et spesialtilfelle av en flate.

Den bestemte forma «planet» referer ofte til hele det to-dimensjonale rommet R2. Adjektivet «plan» brukes også for å beskrive et geometrisk objekt som ligger helt og fullt i et plan, som for eksempel en plan kurve. Plangeometri er euklidsk geometri begrenset til R2, i motsetning til for eksempel romgeometri eller sfærisk geometri.

Det komplekse planet er en representasjon i R2 av mengden av komplekse tall.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Det eksisterer flere ulike alternative og likeverdige måter å beskrive et plan i det tre-dimensjonale euklidske rommet på matematisk. For eksempel kan et plan defineres som samlingen av punkt (x,y,z) som oppfyller ligningen

ax + by + cz = d. \,

Her representerer a, b, c og d konstanter. Vektoren n = (a,b,c) er en normal til planet, og ligningen over er ekvivalent til forma

\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} -\mathbf{r}_0) = 0 \,

der r = (x,y,z) . Vektoren r0 representerer et vilkårlig punkt i planet.

Alternativt kan planet defineres ved parameterforma

\mathbf{r}(u,v) = \mathbf{r}_0 + u \mathbf{r}_1 + v \mathbf{r}_2 \,

Parametrene u og v er vilkårlige reelle tall. Vektorene r1 og r2 er antatt å være lineært uavhengige. Planet sies å være utspent av de to vektorene.

Et plan er generelt entydig bestemt dersom en kjenner tre punkt i planet som ikke ligger på en rett linje. En ligningen for planet er da gitt ved determinantligningen

\begin{vmatrix} 
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\
x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 
\end{vmatrix} = 0.

Spesiell plan[rediger | rediger kilde]

Tangentplan til en kuleflate

Et tangentplan til en flate i rommet er et plan som har minst ett punkt felles med flaten og der alle rett linjer gjennom dette punktet er tangenter til flaten.

Osculasjonsplanet eller smygplanet til en romkurve kan uformelt defineres som planet gjennom tre påfølgende punkt på kurven. Dette planet er utspent av tangenten og normalen til kurven.

Et symmetriplan deler et legeme i to like symmetriske deler. Et legeme i rommet som har et symmetriplan sies å være refleksjonssymmetrisk

Et plan som inneholder origo definerer et vektorrom. Plan som ikke inneholder origo definerer et affint rom.

Det kartesiske planet er lik R2 definert med et kartesisk koordinatsystem.

Det komplekse planet[rediger | rediger kilde]

Argand-diagram for det komplekse tallet z = (a,b) = a + ib.

Ethvert komplekst tall (a,b) = a + ib kan representeres ved et punkt i et to-dimensjonalt kartesisk koordinatsystem. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den relle aksen og den imaginære aksen. Framstillingen i det todimensjonale planet kalles det komplekse planet, og også Argand-diagram eller et gaussisk plan.

Generaliseringer[rediger | rediger kilde]

Hyperplan[rediger | rediger kilde]

Et plan i det tre-dimesjonale rommet er et affint rom med dimensjon 2, som er én mindre enn rommet selv. I et n-dimensjonalt vektorrom definerer en tilsvarende et hyperplan som et affint rom med dimensjonen n-1. Ligningen for hyperplanet er den samme som for et plan i tre dimensjoner:

\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} -\mathbf{r}_0) = 0 \,

Mer generelt definerer en også hyperplan som affine rom med dimensjon n-k.

Hyperplan har mange av de samme matematiske egenskapene som vanlige plan.

Affine mangfoldigheter[rediger | rediger kilde]

Gitt to vilkårlige punkt i et plan i rommet og en rett linje gjennom disse, så vil planet inneholde alle punkter på linja. En undermengde av et vektorrom som har den tilsvarende egenskapen, at alle rette linjer gjennom to vektorer i undermengden selv ligger i undermengden, kalles en affin mangfoldighet.

En affin mangfoldighet i det tre-dimensjonale rommet er entet et punkt, en rett linje eller et plan.