Det gylne snitt

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Fasaden av Santa Maria Novella i Firenze. Her har Alberti brukt det gylne snitt

Det gylne snitt vil si deling av en linje eller en flate i to deler slik at den minste delen forholder seg til den største som denne til hele linjen eller flaten.

Uttrykt som φ (phi) tilsvarer dette et irrasjonalt tall med verdi

Man kan finne det delingsforholdet igjen mange steder i naturen, og spesielt på menneskekroppen. Forholdet mellom lengden fra skulderen til fingertuppene og lengden fra albuen til fingertuppene, knokene på hånda og lengden på bena i forhold til lengden fra kneet til tærne er noen eksempler. Det er også et viktig visuelt virkemiddel innen kunsten. Det gylne snitt var kjent blant grekerne. Det ble mye brukt i renessansen særlig innen arkitektur.

[rediger] Matematikk

Konstruksjon av et gyllent rektangel:
1. Konstruer et kvadrat.
2. Tegn en linje fra midtpunktet på en av sidene til et motstående hjørne.
3. Tegn en bue med denne linjen som radius så de til sammen utgjør den lange siden i rektangelet.

Det gylne snitt bygger på en harmonisk deling av et linjestykke. Snittet deler linjestykket slik at forholdet mellom den lengste og den korteste delen er like stort som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen av det.

Matematisk kan dette uttrykkes slik: Hvis linjestykket AB er delt i et punkt S slik at forholdet mellom AB og AS er lik forholdet mellom AS og BS sies S å dele AB i det gylne snitt

Av definisjonen:

Den høyre ligningen viser at , som kan bli satt inn i den venstre halvdel, som da gir:

Stryke ut b og multiplisere begge sider med φ og ordne ligningen leder til:

Det kan enkelt verifiseres at den eneste positive løsningen til denne annengradsligningen er

Det motsatte forhold er kjent som det konjugerte gylne snitt og man bruker stor Φ for å angi dette (Φ):

Alternativt kan Φ uttrykkes som:

Dette illustrer den unike egenskapen (blant positive tall) med det gylne snitt at:

De to løsningene er innbyrdes inverse og har de samme desimalene.

[rediger] Kunst

Menneskekroppens proposjoner.

Leonardo da Vinci (1452–1519) åpnet en av sine bøker med følgende utsagn: La ingen som ikke er matematiker lese mitt arbeid!. Denne spissformuleringen viser kunstnerens interesse for matematikkfaget. Ved siden av å interessere seg for geometri, studerte han menneskekroppen meget inngående. Han fant mange forhold på menneskekroppen som, ifølge ham selv, burde være lik det gylne snitt for at det skulle være en perfekt kropp. Da Vinci hevdet at forholdet mellom høyden fra navlen og ned og høyden fra navlen og opp bør være lik det gylne snitt. Det betyr at en person på 150 cm, skal ha en navlehøyde på ca 93 cm.

Mange billedkunstnere har, bevisst eller ubevisst, forholdt seg til det gylne snitt i sine verker. Piet Mondrian arbeidet ofte lenge med elementene i sine Tableaux. Om han målte seg fram eller ikke, vet ingen, men de fleste delelinjene i disse bildene faller sammen med gylne snittproporsjoner.

Et BBC-program om ansikter og skjønnhet handlet i stor utstrekning om at ansikter som hadde flatene fordelt etter det gylne snitt ble ansett av det brede publikum som mere tiltalende enn ansikter som ikke var det. De fleste populære skuespillere og modeller i dag faller inn under denne «normen».

[rediger] Tidslinje

Tresnittet Divina Proportione av Luca Pacioli (1509) som beskriver hvordan det gylne snitt kan beskrive forhold i menneskeansiktet^[1].

• Phidias (490–430 f.Kr.) laget Parthenon-statuen som innholder det gylne snitt-proporsjoner.
• Platon (427–347 f.Kr.), i sin Timaios beskriver han fem mulige former nå kjent som platonske legemer (pyramide, kube, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder), hvor noen er relatert til det gylne snitt.
• Euclid (ca. 365–265 f.Kr.), i sin første Elementene gir han den første opptegnde definisjonen av det gylne snitt som han kalte «ακρος και μεσος λογος». Senere ble dette oversatt til «proportio habens medium et duo extrema», som i dag betegnes som «deling i indre og ytre forhold»^[2].

• Fibonacci (1170–1250) oppdaget den numeriske serien Fibonacci-tall navngitt etter ham, som har en sterk knytning til det gylne snitt.
• Luca Pacioli (1445–1517) definerer det gylne snitt som «divine proportion» i sin Divina Proportione.
• Johannes Kepler (1571–1630) beskriver det gylne snitt som en «verdifull juvel»: «Geometri har to store skatter: en er Pythagoras' teorem, og det andre er delingen av en linje i ytre og indre forhold. Det første kan sammenlignes med en skjeppe gull; det andre kan vi kalle en verdifull juvel.»
• Charles Bonnet (1720–1793) poengterer at i spiralen phyllotaxis til planter som formes med og mot klokken ofte har fibonaccitallene som forholdstall.
• Martin Ohm (1792–1872) tror man er den første som bruker uttrykket «det gylne snitt» for å beskrive dette forholdet.
• Edouard Lucas (1842–1891) gir den numeriske sekvensen kjent som Fibonacci-rekken dagens navn.
• Mark Barr (20. århundre) tilordner den første bokstaven i det greske navnet Phidias til det gylne snitt.
• Roger Penrose (født 1931) finner en symmetri som benytter det gylne snitt i feltet aperiodisk tesselering noe som ledet til oppdagelsen av kvasikrystaller.

[rediger] Referanser

1. ^ Hemenway, Priya (2005) Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science, s. 20–21 – Sterling, New York. ISBN 1-4027-3522-7.
2. ^ Heath, Thomas L. (1956) The Thirteen Books of Euclid's Elements, Book 6, Definition 30, s. 267-268 – Dover Publication, New York. ISBN 0-486-60089-0.

[rediger] Litteratur

• Blatner, David: The joy of Pi. (http://www.joyofpi.com/)
• Dalvang, Tone og Rohde, Vetle: Matematikk for alle. Landslaget for matematikk i skolen, Landås 1998.
• Eibe, Thyra: Euklids Elementer. Oversat af Thyra Eibe. København, Gyldendal ; 1897-1917.
• Høyrup, Jens: Sub-Scientific Mathematics. History of Science, vol 28, 1979.
• Jama, Jama Musse: Ethnomathematics.(http://www.dm.unipi.it/~jama/ethno/)
• Knott, Ron: Fibonacci Numbers and the Golden Section. (http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/)
• Krause, M.: Multicultural mathematics material, NCTM 1983.
• Levin, Eddy: The Golden Proportion. (http://www.goldenmeangauge.co.uk/)
• Rossing, Nils Kr.: Den matematiske krydderhylle. Tapir akademisk forlag (7. utgave), 2007. (http://butikk.tapirforlag.no/no/node/1047).
• Selvik, Bjørg K. (red): Matematiske sammenhenger: Geometri. Caspar forlag, 1999.
• Stewart, Ian: Life's other secret - The new Mathematics of Living World. Penguin books, 1999.