Polyedertall

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Et oktaeder bygd opp av det sjette oktaedertallet 146 magnetiske kuler.

Polyedertall er i aritmetikken figurtall basert på forskjellige polyeder i tre dimensjoner. Kanskje de mest kjente følgene av slike positive heltall er kubikktallene og pyramidetallene.

Vanligligvis er polyedertall knyttet til de regulære polyederne. I det tredimensjonale rommet finnes det fem forskjellige slike geometriske figurer som er de platonske legemene tetraeder, kube, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder. På samme måte som man kan konstruere sentrerte polygontall i to dimensjoner, kan man fra disse romlegemene lage fem følger med sentrerte polyedertall i tre dimensjoner.

Mens tetraederet, kuben og oktaederet kan utvides til regulære polytoper i rom med høyere dimensjoner, eksisterer romlegemer som dodekaederet og ikosaederet bare i det tredimensjonale rommet.

Noen eksempel[rediger | rediger kilde]

Et tetraeder er en pyramide med en trekantet grunnflate. Den kan bygges opp av kuler eller baller i forskjellige lag opp til toppen hvor en kule ligger. Hvert lag er en likesidet trekant. Numereres disse fra toppen av pyramiden, inneholder det k-te laget et antall kuler gitt ved trekanttallet Δk hvor Δ1 = 1 og

Et slikt tetraeder med n lag inneholder derfor et totalt antall kuler bestemt ved summen

som definerer tetraedertallene. De første er

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, ...

På tilsvarende måte defineres det n-te kubikktallet Cn som antall kuler i en kube bestående av n  lag hvor hvert lag inneholder n 2  slike kuler. Det totale antallet er dermed Cn = n⋅n 2 = n 3. De første kubikktallene blir dermed

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, ...

Oktaedertall[rediger | rediger kilde]

Av formen til et oktaeder ser man at det kan deles i to pyramider med kvadratiske grunnflater. Hvis oktaederet har n kuler i en sidekant, vil den ene pyramiden ha like mange kuler i sidekanten til sin grunnflate, mens den andre pyramiden vil ha en mindre. Derfor kan det n-te oktaedertallet uttrykkes ved de tilsvarende, kvadratiske pyramidetallene som

ved å bruke at

For de første oktaedertallene har man dermed

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, 1469, 1834, 2255, 2736, 3281, ...

Sentrerte polyedertall[rediger | rediger kilde]

35 kuler kan plasseres i to lag rundt en sentral kule i et kubisk krystallgitter og utgjør det tredje, sentrerte kubikktallet.

På samme måte som at vanlige polygontall kan utvides til å inkludere sentrerte polygontall, kan man også for polyedertallene definere en egen klasse av sentrerte polyedertall. Hver av dem kan tenkes å fremkomme ved å starte med en sentral kule og så omgi denne med et konsentrisk skall av kuler med form av polyederet man vil konstruere. Denne prosessen kan så fortsettes ved at i hvert trinn økes sidelengden i polyederet med en kule.

Denne konstruksjonen lar seg lett formulere rekursivt og kan lett illustreres for en kube. Den har 6 kvadratiske sideflater, 12 sidekanter og 8 hjørner. Når man går fra den (n -1)-te, sentrerte kuben til den neste ved å omslutte den med et nytt, kubisk skall, vil det kreve 8 nye kuler for hjørnene. I tillegg vil det behøves 12⋅(n - 2) kuler for de nye sidekantene og 6⋅Kn - 2  for sideflatene hvor Kn = n 2  er det n-te kvadrattallet. Det betyr i alt

nye kuler. Kaller man det n-te, senterete kubikktallet for CCn, har man dermed rekursjonsrelasjonen

med CC1 = 1. Denne relasjonen har som konsekvens at

som kan vises ved induksjon. De første, numeriske verdiene som følger fra denne formelen, er

1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009, ...

Da man kan skrive det sentrerte kubikktallet som

,

kan man tenke seg at det fremkommer ved å plassere en kule i hver åpning mellom alle de andre kulene i en vanlig, kubisk plassering. Da Cn = n 3  er de vanlige kubikktallene, har man derfor sammenhengen CCn = Cn + Cn - 1 for de sentrerte kubikktallene.

Sentrert oktaeder[rediger | rediger kilde]

Et oktaeder kan bygges opp av 129 tett plassert kubiske klosser med en i midten i overensstemmelse med at 129 er det femte, sentrerte oktaedertallet.

Et oktaeder har 6 hjørner, 12 sidekanter og 8 sideflater som er likesidete trekanter. For det n-te, sentrerte oktaederet vil hver slik trekant ha Δn - 3  indre kuler i tillegg til kulene i hjørnene og langs de tre sidekantene. Her er Δn = n(n + 1)/2  det n-te trekanttallet. På samme måte som for den sentrerte kuben, vil man derfor nå ha sammenhengen

for de sentrerte oktaedertallene. Løsningen av denne rekursjonsrelasjonen gir formelen

som igjen kan vises ved induksjon. Ved å sette inn her n = 1, 2, 3, .... finnes de første, sentrerte oktaedertallene å være

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, 3303, 4089, 4991, 6017, ...

Numerisk ser man fra formelen at disse nye polyedertallene kan uttrykkes ved de vanlige oktaedertallene som COn = On + On - 1 helt analogt med de sentrerte kubikktallene. Geometrisk kan dette tolkes som at man kan forandre et vanlig oktaeder med kuler til et sentrert oktaeder ved å plassere ekstra kuler i hulrommene mellom de opprinnelige kulene.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]