Pyramidetall

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Det femte, kvadratiske pyramidetallet 55 er bygd opp i Musée historique de Strasbourg av 5 lag med kanonkuler.

Pyramidetall er i aritmetikken bestemte følger av figurtall som er forbundet med formen til en pyramide hvor grunnflaten er en regulær mangekant og sideflatene er trekanter. De utgjør en spesiell klasse av figurtall i den større gruppen av polyedertall basert på mer generelle polyeder i tre dimensjoner.

De mest kjente pyramidetallene er tetraedertallene

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, ...

hvor grunnflaten er en likesidet trekant og de kvadratiske pyramidetallene

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, ...

hvor grunnflaten er et kvadrat.

Et pyramidetall kan illustreres ved å arrangere et slikt antall baller eller kuler i en pyramideformet stabel. Antall kuler til en sidekant i grunnflaten angir da samtidig også antall lag opp til toppen av pyramiden hvor der ligger en kule. Det n-te laget er derfor også en polygon med samme form som grunnflaten og inneholder et antall kuler som er gitt ved det tilsvarende n-te polygontallet.

Generell formel[rediger | rediger kilde]

Det fjerde, kvadratiske pyramidetallet er bygd opp av fire lag med tilsammen 1 + 4 + 9 + 16 = 30 kuler.

Hvis Ps(k) er det k-te polygontallet for en regulær mangekant med s sider, så er det n-te pyramidetallet Ms(n)   definert ved

som tilsvarer summen av antall kuler i hvert lag som den er bygd opp av. Det betyr at pyramidetallene også kan defineres og regnes ut fra rekursjonsrelasjonen

med Ms(1) = 1 som tilsvarer kulen på toppen av pyramiden. Dette gir den generell formelen

som var kjent allerede for Arkimedes som brukte den til beregning av tredimensjonale volum.

Formelen kan bevises ved matematiskinduksjon. Alternativt følger den direkte fra den generelle formelen

for det k-te polygontallet Fra definisjonen av pyramidetallene har man da

Mens den siste summen her er n(n + 1)/2, kan den første summen av kvadratene finnes fra egenskaper ved trekanttallene. Det gir

I det spesielle tilfellet med en femkantet pyramide, faller det siste leddet bort slik at formelen gir

som er de pentagonale pyramidetallene.

Trigonale pyramidetall[rediger | rediger kilde]

En triangulær pyramide ser ut som tetraeder. Derfor er de triangulære pyramidetallene de samme som tetraedertallene Tn og gitt ved

De første tallene i denne klassen er dermed 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, ...

Kvadratiske pyramidetall[rediger | rediger kilde]

For s = 4 finner man de kvadratiske pyramidetallene gitt ved

som representerer summen av de n første kvadrattallene. Hvert av disse kan skrives som summen av to påfølgende tetraedertall da

Dette algebariske resultatet kan også forklares geometrisk ved å dele pyramiden i to. På tilsvarende måte kan et oktaeder deles i to pyramider med kvadratiske grunnflater som adskiller seg ved at den ene har en kule mindre i sidekanten. Dette kommer til uttrykk i det n-te oktaedertallet som kan skrives som

De første, kvadratiske pyramidetallene er 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, ...

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • A. Holme, Matematikkens Historie 1, Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.
  • R. Courant and H. Robbins, What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, Oxford (1996). ISBN 0-195-10519-2.
  • J.H. Conway and R.K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York (1996). ISBN 978-1-4612-8488-8.