Kvaternioner

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Kvaternioner er en ikke-kommutativ utvidelse av de komplekse tallene. Mengden av kvaternioner skrives H eller \mathbb H, etter William Rowan Hamilton som introduserte begrepet. Kvaternionene er en firedimensjonal normert divisjonsalgebra over de reelle tallene.

De komplekse tallene kan betraktes som en utvidelse av de reelle tallene, hvor man har tilføyet elementet i som oppfyller ligningen i 2 = -1. På samme måte kan kvaternionene betraktes som en utvidelse av de reelle tallene hvor man i stedet har tilføyet elementene i, j og k som oppfyller ligningene

i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1.

Siden multiplikasjonen kan vises å være assosiativ, får man av disse relasjonene at

  • ij = k, ji = -k,
  • jk = i, kj = -i,
  • ki = j, ik = -j,

hvorav man kan se at multiplikasjonen ikke er kommutativ. Kvaternionene er dermed ikke en kropp slik som de komplekse tallene. Derimot utgjør de en divisjonsring, siden man både kan addere, subtrahere, multiplisere og dividere som man kan i kropper, men med hensyn til at multiplikasjonen ikke er kommutativ. For eksempel er xy -1 ikke nødvendigvis det samme som y -1x, så skrivemåten x/y kan ha to betydninger.

Historie[rediger | rediger kilde]

Kvaternionene ble innført av Hamilton i 1843. Han lette etter en måte å utvide de komplekse tallene til en høyeredimensjonal kropp på, slik som de komplekse tallene kan ansees å være en todimensjonal utvidelse av de reelle tallene. Det er senere blitt bevist at dette er umulig. Ifølge sin egen beretning gikk han den 16. oktober tur langs The Royal Canal i Dublin med sin kone. Akkurat da de gikk forbi Brougham Bridge kom løsningen til ham i form av ligningen

i² = j² = k² = ijk = -1.

Han tegnet straks ligningen inn i en av steinene på broen. I dag henger en plakett på den samme broen med inskripsjonen

"Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication i² = j² = k² = i j k = −1 & cut it on a stone of this bridge."
matematikkstubbDenne matematikkrelaterte artikkelen er dessverre kort eller mangelfull, og du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den. (Se stilmanual)