Matematisk induksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Matematisk induksjon er en metode til å bevise at spesielle matematiske utsagn gjelder generelt for alle tall. Disse såkallte induksjons-bevisene er logisk bygget opp fra et enkelt regnestykke til også å gjelde for kompliserte problemer. Metoden er deduktiv, det vil si at resultatet er eksakt viten som er reproduserbar for alle tilsvarende problemstillinger. Metoden er mye brukt innen ingeniørfag og naturvitenskapene.

[rediger] Eksempel

Skal bevise at summen for alle naturlige tall kan skrives som:

$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ , der n er et naturlig tall.

Første skritt er å bevise at uttrykket gjelder for 1.

$\frac{n(n+1)}{2} \Rightarrow \frac{(1)(1+1)}{2}=1\,$ da n=1. Dermed har vi vist at uttrykket gjelder for n=1.

Neste skritt er å bevise at hvis uttrykket gjelder for n=k, medfører det at uttrykket også gjelder for $k = n + 1$ .

Antar: $1+2+3+...+k = \frac{k(k+1)}{2}$

Legger til k + 1 på begge sider og får:

$1 + 2 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{k(k + 1)}{2} + (k+ 1)$

Regner ut høyresiden:

$= \frac{k(k + 1)}{2} + \frac{2(k + 1)}{2} = \frac{(k + 2)(k + 1)}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = \frac{(k + 1)((k + 1) + 1)}{2}.$

Dermed har vi:

$1 + 2 + \cdots + (k + 1) = \frac{(k + 1)((k + 1) + 1)}{2}$

og beviset er ferdig. Vi har nå bevist at uttrykket gjelder for n=1, og at hvis uttrykket gjelder for k, medfører det at uttrykket også gjelder for k+1. Induksjonsprinsippet sier dermed at uttrykket gjelder for alle naturlige tall $n\ge1$ .

Matematisk induksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

[rediger] Eksempel

Visninger

Personlige verktøy

Søk

Navigasjon

prosjekt

Opprett en bok

Verktøy

Andre språk