Maksimum og minimum

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Minimumspunkt)
Hopp til navigering Hopp til søk

Et maksimum og et minimum er innen matematikken en verdi som er høyere eller lavere enn alle andre verdier i en gitt mengde. Maksimums- og minimumsverdier kalles samlet sett for mengdens ekstrema eller ekstremalverdier.

For funksjoner er maksima og minima punkter som har høyere eller lavere verdi enn punkter som ligger like i nærheten. Å finne slike punkter er ønskelig i mange sammenhenger, og grunnlaget for matematisk optimering.

Innen mengdelære kan man definere største og minste element for partielle ordnede mengder. Hvis de eksisterer, er slike elementer elementer med høyere eller lavere verdi enn alle andre verdier i den gitte mengden.

Maksimums- og minimumspunkter[rediger | rediger kilde]

En tredjegradsfunksjon med et maksimums- og minimumspunkt. Begge er lokale, og definert over alle reelle tall har funksjonen ingen globale ekstremapunkter.
Maksimumspunktet til en funksjon av to variable. Dette er både et lokalt og et globalt maksimumspunkt.

Et maksimumspunkt eller et minimumspunkt til en funksjon i matematikken er et punkt som er har en henholdsvis høyere eller lavere verdi enn alle andre punkter i dets nærhet. Mer presist, så er et punkt c et maksimumspunkt dersom vi har for enhver at og . Et punkt c er tilsvarende et minimumspunkt dersom og . Slike punkter kalles også for ekstremalverdier, og for deriverbare funksjoner er ethvert maksiumums- og minimumspunkt et stasjonært punkt.

Vi skiller mellom globale og lokale maksimums- og minimumspunkter. Et globalt maksimums-/minimumspunkt er det punktet til funksjonen som er større eller mindre enn alle andre punkter i definisjonsmengden, mens et lokalt maksimum/minimum bare er et punkt som tilfredsstiller definisjonen ovenfor (har høyere eller lavere verdi enn alle verdier i en omhegn om dette punktet).

Ekstremalverdisetningen sier at dersom en reell funksjon er kontinuerlig på et lukket intervall [a, b], må f ha både en maksimums- og en minimumsverdi minst én gang på dette intervallet. Det vil si at det finnes tall c og d i [a, b] slik at

For reelle og deriverbare funksjoner av én variabel bruker man derivasjon for å finne stasjonære punkter, og evaluerer hvorvidt dette er et maksimumspunkt, sadelpunkt eller minimumspunkt ved å evaluere den deriverte. For funksjoner av flere variable bruker man Hessematrisen for å beregne dette.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]