Omegn (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
En mengde V i planet med en omegn om punktet p.

En omegn om et element i en mengde er i matematikk en delmengde som i en viss forstand ligger nær elementet. Uformelt kan en si at omegnen inneholder elementer i mengden som er naboer til elementet. Elementet selv er vanligvis med i omegnen, men mengden kalles en punktert omegn dersom elementet ikke er med.

I en formell matematisk definisjon vil en være avhengig av å presisere hva en mener med «nær» eller «nabo». Dette lar seg gjøre i et metrisk rom, der en har definert et avstandsmål, en metrikk. Omegn er også et sentralt begrep i topologi. Begrepet omegn er nært knyttet til åpne mengder.

Formell definisjon i et metrisk rom[rediger | rediger kilde]

En \epsilon-omegn til et element p i et metrisk rom (V,d) er definert som en mengde

\{ x \in V | \ d(x,p) < \epsilon \} \,

En punktert \epsilon-omegn er definert tilsvarende ved å ekskludere elementet a :

\{ x \in V | \ 0 < d(x,p) < \epsilon \} \,

En omegn i et metrisk rom kalles også for en åpen ball eller en åpen kule.

Formell definisjon i et topologisk rom[rediger | rediger kilde]

En omegn om et element p i et topologisk rom V er en mengde W som inneholder en åpen mengde som igjen inneholder elementet:

\displaystyle  p \in U \subseteq W.

Omegnen trenger ikke selv være en åpen mengde.