Hopp til innhold

Funksjonalanalyse

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Funksjonalanalysen er en gren av den matematiske analysen og kan beskrives som studiet av topologiske vektorrom og kontinuerlige lineæravbildninger mellom dem.

Topologiske vektorrom[rediger | rediger kilde]

Et topologisk vektorrom er et vektorrom over en topologisk kropp (som regel er enten eller med topologiene gitt av absoluttverdiene på disse kroppene) med en topologi slik at strukturavbildningene

er kontinuerlige. Sentrale eksempler på topologiske vektorrom er Banach-rom, Hilbert-rom og lokalt konvekse rom. Det følger eksempelvis av trekantulikheten at et normert rom er et topologisk vektorrom.

Kontinuerlige lineæravbildninger[rediger | rediger kilde]

Lineæravbildninger mellom de endeligdimensjonale rommene og er automatisk kontinuerlige. Dette er derimot ikke lenger tilfelle i uendeligdimensjonale rom. For en lineæravbildning mellom normerte rom er følgende ekvivalent:

  1. er begrenset, det vil si at det finnes en konstant slik at for alle
  2. er kontinuerlig.
  3. er kontinuerlig i 0.
  4. er uniformt kontinuerlig.