Lie-derivasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Lie-deriverte av vektor v langs u finnes ved å sammenligne vy med vx i samme punkt x.

Lie-derivasjon er i matematisk analyse en generalisering av den retningsderiverte av skalare funksjoner til å gjelde for vektorer og tensorer.

All derivasjon er basert på muligheten til å sammenligne en variabel størrelse i to nærliggende punkt. Men en vektor kan ikke uten videre bringes entydig til det punkt hvor vektoren den skal sammenlignes med, befinner seg. Parallelltransport gjør dette mulig og leder til kovariant derivasjon av vektorer og tensorer. En annen mulighet er transport av slike størrelser basert på strømlinjene som hvert vektorfelt definerer. Dette danner grunnlaget for Lie-derivasjon som dermed også vil være koordinatuavhengig.

Denne form for derivasjon ble oppdaget av den norske matematiker Sophus Lie i forbindelse med hans arbeider med etablering av teorien for Lie-grupper. I dag benyttes den i mange andre sammenhenger og er spesielt nyttig for undersøkelse av symmetrier i forskjellige grener av teoretisk fysikk.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

Et vektorfelt u på en mangfoldighet definerer en strømlinje som er en glatt kurve bestemt ved ett utgangspunkt. Fra kjennskap til komponentene til en generell tensor T i dette punktet kan man beregne tilsvarende verdier av komponentene i andre punkt på kurven. Dette omtales noen ganger som om tensoren flyter eller blir Lie-transportert langs kurven. Dette mentale bildet er basert på at parameteren som beskriver kurven, oppfattes som en tid i mekanikk eller hydrodynamikk. Man kan da tenke seg at en slik flyt- eller strømlinje starter ut i et punkt x på mangfoldigheten når kurveparameteren har verdien t = 0 og i en retning gitt ved vektorfeltet ux  i det punktet. På samme måte kan tensoren og dens komponenter der angis som .

For en senere parameterverdi t > 0 går flytlinjen gjennom punktet xt = x(t). Der har tensoren komponenter som inngår i da den er veldefinert over hele mangfoldigheten. Men samtidig er det mulig å beregne hva den ville ha vært hvis den strømmet med langs flytlinjen. Denne kan betegnes med og vil i alminnelighet være litt forskjellig fra . Differansen kan benyttes til å beregne den Lie-deriverte av T i punktet xt når parameteren t  blir liten nok.[1]

Denne definisjonen benyttes enklest når den deriverte beregnes i flytlinjens startpunktet x. Da er den gitt ved differansen mellom og etter at den Lie-transporteres tilbake fra xt til x. Kalles denne tensoren , vil den ha en Lie-derivert i retning u som kan finnes fra

I det enkleste tilfelle kan man betrakte en skalar funksjon F(x). Den vil ikke forandres under en slik flyt, og den Lie-deriverte faller sammen med den retningsderiverte av funksjonen. Den kan uttrykkes ved komponentene uμ til retningsvektoren u slik at man har

når Einsteins summekonvensjon benyttes og man summerer over de to like indeksene forbundet med koordinatene xμ = (x1,x2,...,xn) på en n-dimensjonal mangfoldighet.

Denne Lie-deriverte av en skalar funksjon kan skrives som når man betrakter tangentvektoren u som en derivasjonsoperator

De partiellderiverte ∂μ opptrer da som basisvektorer eμ på mangfoldigheten. Denne formuleringen benyttes i moderne differensialgeometri og forenkler i stor grad den matematiske notasjonen. For eksempel kan den Lie-deriverte av et vektorfelt v(x) i retning u da skrives som

hvor på høyre side kommutatoren er en ny vektoroperator. Den spiller også en fundamental rolle i kvantemekanikken. På lignende, kompakt vis kan nå Lie-derivasjon av differensialformer og mer generelle tensorer sammenfattes.[2]

Flytlinjer[rediger | rediger kilde]

Et vektorfelt på en n-dimensjonal mangfoldighet kan skrives som u(x) = uμ(x) eμ hvor basisvektorene eμ = ∂μ kan betraktes som tangentvektorer til koordinatlinjene og vil derfor ha varierende retninger på mangfoldigheten. Komponentene uμ(x) til vektoren er skalare funksjoner og vil derfor også variere fra punkt til punkt.

En strømlinje eller flytlinje for et vektorfelt u er en kurve på mangfoldigheten som i hvert punkt har en tangentvektor som sammenfaller med vektorfeltet i det samme punktet. Flytlinjen er da beskrevet ved n funksjoner xμ(t) som avhenger av en parameter t. I hvert punkt har den da en tangentvektor d /dt = (dxμ/dt) ∂μ slik at dens koordinater på oppfylle

Dette er en første ordens differensialligning hvis løsning er bestemt når man angir begynnelsespunktet til kurven for t = 0. Med denne grensebetingelsen kan den generelle løsningen skrives som hvor . Hvis , vil . For alle mulige valg av begynnelsespunktet vil disse flytlinjene fylle ut mangfoldigheten. Men de vil ikke kunne skjære hverandre da det i hvert punkt kun er én tangentvektor. Flytlinjene sies å utgjøre en kongruens for vektorfeltet.[1]

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Flytlinjer i én dimensjon går bare i én retning. Er denne langs x-aksen, kan et generelt vektorfelt skrives som u = uxex. Dette kunne beskrive en vannstråle med et variabelt hastighetsfelt hvor parameteren t er tiden. Tangentvektoren angir da hastigheten til en partikkel i strålen.

Hvis man så antar at vektorfeltet har komponenten ux = x 2, vil posisjonen til partikkelen være bestemt ved dx/dt = x 2. Løsningen av denne differensialligningen finnes ved direkte integrasjon å være 1/x0 - 1/x = t  når man benytter samme grensebetingelse som tidligere angitt. Den er derfor

Man kan nå lett verifisere at den tilfredsstiller .

Mer interessant er en todimensjonal mangfoldighet med vektorfeltet u = xey - yex. Flytlinjene er da bestemt ved ligningene dx/dt = - y og dy/dt = x. Multipliseres den første med x og den andre med y, får man

etter å addere dem sammen. Flytlinjene er derfor sirkler der er den kvadrerte radius. Hvis partikkelen ved tiden t = 0 er i punktet med , vil parameterfremstillingen av denne lukkete flytlinjen være

Denne løsningen oppfyller de definerende ligningene (d /dt)xt = - yt og (d /dt)yt = xt samt grensebetingelsen og beskriver en rotasjon i xy-planet. Ved bruk av trigonometriske identiteter følger herav at ved et senere tidspunkt vil posisjonen på samme kunne uttrykkes ved i stedet for .

Eksponensiering[rediger | rediger kilde]

Ved bruk av en Taylor-utvikling kan koordinatene xμ(t) til et vilkårlig punkt på flytlinje beregnes fra et kompakt uttrykk. Det er basert på at dens tangentvektor kan skrives som u = d /dt. Da blir

hvor de deriverte tas i utgangspunkt for t = 0 der koordinatene skrives som xμ. Den uendelige rekken kan nå uttrykkes ved eksponentialfunksjonen og man har

Nå er slik at løsningen på denne formen har den forventete egenskap at . Operatorene utgjør elementene i den enkleste Lie-gruppe.[3] Den er generert av vektoroperatoren u og har egenskapen Det inverse elementet til er da enhetselementet er .

I det enkle eksemplet i én dimensjon hvor vektorfeltet har bare en komponent, er u = x 2(∂/∂x) og

da den uendelige rekken er geometrisk. Dette er resultatet som tidligere ble funnet ved å løse en differensialligning.

En sirkulær flytlinje er generert av vektoren u = x ∂y - y ∂x. Derfor er ux = - y og uy = x slik at en endelig forskyvning fra (x,y) ved t = 0 blir

og tilsvarende for når man bruker Taylor-rekkene for de to trigonometriske funksjonene.

Kommutator[rediger | rediger kilde]

Når mangfoldigheten inneholder to vektorfelt u = uμeμ og v = vμeμ, kan man fra et gitt utgangspunkt P  generere flytlinjer i to forskjellige retninger. Hvis man da betrakter en liten forflytning tilsvarende en parameter ε << 1 til et punkt langs v og videre derfra langs u med den samme parameterforandringen, vil man i alminnelighet ikke ankomme samme punkt hvis man starter fra P og først beveger seg langs u og deretter langs v. Det følger fra

i grensen hvor parameteren ε → 0. Om man ankommer det samme punktet langs de to forskjellige veiene eller ikke, er derfor bestemt av verdien til kommutatoren

Når den er forskjellig fra null, definerer den et nytt vektorfelt som representerer en forflytning i en tredje retning.[1]

Begge vektorfeltene u og v er representert ved førsteordens derivasjonsoperatorer. Når de virker sammen i et produkt, vil de også gi derivasjoner av andre orden. Men i differeransen mellom produktene forsvinner disse bidragene slik at kommutatoren er en ny operator av første orden. Det følger fra en direkte utregning,

når notasjonen benyttes. I tillegg kommuterer partiellderivasjoner med hverandre slik at μν = ∂νμ. Kommutatoren av to vektorfelt er derfor et nytt vektorfelt med komponenter . Dette er av sentral betydning i teorien for Lie-grupper.[3]

Lie-transport[rediger | rediger kilde]

Et punkt x på en flytlinje generert av et vektorfelt u = uν ∂ν vil flyttes til et nytt punkt y = x(t ). Når parameteren t << 1 vll koordinatene til dette nye punktet kunne skrives som

når man neglisjerer høyere ordens ledd i rekkeutviklingen av eksponentialfuksjonen. En skalar funksjon vil i dette punktet ha verdien F(y) som uten videre kan sammenlignes med verdien F(x ) i utgangspunktet til flytlinjen. Den Lie-transporterte funksjonsverdien fra y tilbake til x er derfor 'Fy(x) = F(y). Fra definisjonen følger herav at den Lie-deriverte av funksjonen blir

som sammenfaller med den retningsderiverte av funksjonen.[4]

Vektorfelt[rediger | rediger kilde]

For den Lie-deriverte av et v = vμeμ langs den samme flytlinjen definert ved u, vil Lie-transporten av komponentene vμ fra y til x være den samme som for en skalar funksjon. Men basisvektorene eμ(y) = ∂/∂yμ vil være forskjellig fra basisvektorene eμ(x) = ∂/∂xμ. Sammenhengen er gitt ved transformasjonen y = x(t ). Den betyr at

Fra definisjonen av den Lie-deriverte kan nå denne beregnes og blir

På samme måte følger at

slik at Lie-derivasjon oppfyller Leibniz' produktregel.

Differensielle former[rediger | rediger kilde]

Basisformene på mangfoldigheten er gitt ved differensialene dxμ slik at en generell 1-from kan skrives som ω = ωμdxμ når man igjen benytter Einsteins summekonvensjon. Mens komponentene vil transformere som skalare funksjoner under Lie-transport, vil basisformene i de to punktene y = x(t ) være forbundet ved

Dermed blir den Lie-deriverte av 1-formen

Dette resultatet kan også finnes ved ytre derivasjon og kontraksjon av formen med vektoren u. Hvis nå den ytrederiverteo blir tatt av denne kontraksjonen og addert til kontraksjonen med u av , ser man at

Den Lie-deriverte av formen kan derfor skrives som

og er uavhengig av koordinater. Selv om resultatet her er utledet for en 1-form, viser det seg å være gyldig for en vilkårlig k-form og bærer navnet til Élie Cartan.[5]

Fra disse generelle egenskapene til den Lie-deriverte av differensialformer, finner man for eksempel også viktige konsekvenser som

og

som er Leibniz' produktregel for vilkårlige differensialformer α og β.[4]

Tensorer[rediger | rediger kilde]

Ved bruk av produktregelen som Lie-derivasjon oppfyller, kan også dens effekt på tensorer finnes. Det kan illustreres ved å betrakte tilfellet når den er av andre grad med en kovariant og en kontravariant indeks,

Den deriverte i retning u er da

hvor den Lie-deriverte av komponentene er gitt ved den retningsderiverte Du og

Etter navneskifte på noen av indeksene kan resultatet skrives som

Anvendelser på tensorer av høyere rang kan herav lett finnes. Når tensoren bare har kovariante og fullstendig antisymmetriske komponenter, vil denne fremgangsmåten sammenfalle med hva som tidligere ble funnet for den Lie-deriverte av en differensialform.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b c B.F. Schutz, Geometrical methods of mathematical physics, Cambridge University Press, England (1982). ISBN 0-521-29887-3.
  2. ^ R. Penrose, The Road to Reality, Jonathan Cape, London (2004). ISBN 0-224-04447-8.
  3. ^ a b R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications, John Wiley & Sons, New York (1974). ISBN 0-471-30179-5.
  4. ^ a b C. von Westenholz, Differential Forms in Mathemaical Physics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1981). ISBN 0-444-85437-1
  5. ^ M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, IOP Publishing, Bristol UK (1990). ISBN 0-85274-095-6.