Lie-derivasjon

Lie-deriverte av vektor v langs u finnes ved å sammenligne v_y med v_x i samme punkt x.

Lie-derivasjon er i matematisk analyse en generalisering av den retningsderiverte av skalare funksjoner til å gjelde for vektorer og tensorer.

All derivasjon er basert på muligheten til å sammenligne en variabel størrelse i to nærliggende punkt. Men en vektor kan ikke uten videre bringes entydig til det punkt hvor vektoren den skal sammenlignes med, befinner seg. Parallelltransport gjør dette mulig og leder til kovariant derivasjon av vektorer og tensorer. En annen mulighet er transport av slike størrelser basert på strømlinjene som hvert vektorfelt definerer. Dette danner grunnlaget for Lie-derivasjon som dermed også vil være koordinatuavhengig.

Denne form for derivasjon ble oppdaget av den norske matematiker Sophus Lie i forbindelse med hans arbeider med etablering av teorien for Lie-grupper. I dag benyttes den i mange andre sammenhenger og er spesielt nyttig for undersøkelse av symmetrier i forskjellige grener av teoretisk fysikk.

Definisjon

Et vektorfelt u på en mangfoldighet definerer en strømlinje som er en glatt kurve bestemt ved ett utgangspunkt. Fra kjennskap til komponentene til en generell tensor T i dette punktet kan man beregne tilsvarende verdier av komponentene i andre punkt på kurven. Dette omtales noen ganger som om tensoren flyter eller blir Lie-transportert langs kurven. Dette mentale bildet er basert på at parameteren som beskriver kurven, oppfattes som en tid i mekanikk eller hydrodynamikk. Man kan da tenke seg at en slik flyt- eller strømlinje starter ut i et punkt x på mangfoldigheten når kurveparameteren har verdien t = 0 og i en retning gitt ved vektorfeltet u_x  i det punktet. På samme måte kan tensoren og dens komponenter der angis som $\mathbf {T} _{x}$ .

For en senere parameterverdi t > 0 går flytlinjen gjennom punktet x_t = x(t). Der har tensoren komponenter som inngår i $\mathbf {T} _{x(t)}$ da den er veldefinert over hele mangfoldigheten. Men samtidig er det mulig å beregne hva den ville ha vært hvis den strømmet med langs flytlinjen. Denne kan betegnes med $\mathbf {T'} _{x(t)}$ og vil i alminnelighet være litt forskjellig fra $\mathbf {T} _{x(t)}$. Differansen kan benyttes til å beregne den Lie-deriverte av T i punktet x_t  når parameteren t  blir liten nok.

Denne definisjonen benyttes enklest når den deriverte beregnes i flytlinjens startpunktet x. Da er den gitt ved differansen mellom $\mathbf {T} _{x}$ og $\mathbf {T} _{x(t)}$ etter at den Lie-transporteres tilbake fra x_t  til x. Kalles denne tensoren $\mathbf {'T} _{x(t)}$, vil den ha en Lie-derivert i retning u som kan finnes fra

$L_{\mathbf {u} }\mathbf {T} _{x}=\lim _{t\to 0}{1 \over t}{\big [}\mathbf {'T} _{x(t)}-\mathbf {T} _{x}{\big ]}$

I det enkleste tilfelle kan man betrakte en skalar funksjon F(x). Den vil ikke forandres under en slik flyt, og den Lie-deriverte faller sammen med den retningsderiverte $D_{\mathbf {u} }$ av funksjonen. Den kan uttrykkes ved komponentene u^μ til retningsvektoren u slik at man har

$L_{\mathbf {u} }F=u^{\mu }{\partial F \over \partial x^{\mu }}$

når Einsteins summekonvensjon benyttes og man summerer over de to like indeksene forbundet med koordinatene x^μ = (x¹,x²,...,xⁿ) på en n-dimensjonal mangfoldighet.

Denne Lie-deriverte av en skalar funksjon kan skrives som $L_{\mathbf {u} }F=\mathbf {u} F$ når man betrakter tangentvektoren u som en derivasjonsoperator

$\mathbf {u} =u^{\mu }\partial _{\mu }=u^{1}{\partial \over \partial x^{1}}+u^{2}{\partial \over \partial x^{2}}+\cdots +u^{n}{\partial \over \partial x^{n}}$

De partiellderiverte ∂_μ opptrer da som basisvektorer e_μ på mangfoldigheten. Denne formuleringen benyttes i moderne differensialgeometri og forenkler i stor grad den matematiske notasjonen. For eksempel kan den Lie-deriverte av et vektorfelt v(x) i retning u da skrives som

$L_{\mathbf {u} }\mathbf {v} =[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]$

hvor på høyre side kommutatoren $[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathbf {u} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathbf {u}$ er en ny vektoroperator. Den spiller også en fundamental rolle i kvantemekanikken. På lignende, kompakt vis kan nå Lie-derivasjon av differensialformer og mer generelle tensorer sammenfattes.

Flytlinjer

Et vektorfelt på en n-dimensjonal mangfoldighet kan skrives som u(x) = u^μ(x) e_μ hvor basisvektorene e_μ = ∂_μ kan betraktes som tangentvektorer til koordinatlinjene og vil derfor ha varierende retninger på mangfoldigheten. Komponentene u^μ(x) til vektoren er skalare funksjoner og vil derfor også variere fra punkt til punkt.

En strømlinje eller flytlinje for et vektorfelt u er en kurve på mangfoldigheten som i hvert punkt har en tangentvektor som sammenfaller med vektorfeltet i det samme punktet. Flytlinjen er da beskrevet ved n funksjoner x^μ(t) som avhenger av en parameter t. I hvert punkt har den da en tangentvektor d /dt = (dx^μ/dt) ∂_μ slik at dens koordinater på oppfylle

${dx^{\mu } \over dt}=u^{\mu }(x)$

Dette er en første ordens differensialligning hvis løsning er bestemt når man angir begynnelsespunktet $x_{0}$ til kurven for t = 0. Med denne grensebetingelsen kan den generelle løsningen skrives som $x_{t}^{\mu }=x^{\mu }(t,x_{0})$ hvor $x_{0}^{\mu }=x^{\mu }(0,x_{0})$. Hvis $x_{s}^{\mu }=x^{\mu }(s,x_{0})$ , vil $x_{t+s}^{\mu }=x^{\mu }(t,x_{s})=x^{\mu }(t+s,x_{0})$. For alle mulige valg av begynnelsespunktet $x_{0}$ vil disse flytlinjene fylle ut mangfoldigheten. Men de vil ikke kunne skjære hverandre da det i hvert punkt kun er én tangentvektor. Flytlinjene sies å utgjøre en kongruens for vektorfeltet.

Eksempel

Flytlinjer i én dimensjon går bare i én retning. Er denne langs x-aksen, kan et generelt vektorfelt skrives som u = u_x e_x. Dette kunne beskrive en vannstråle med et variabelt hastighetsfelt hvor parameteren t er tiden. Tangentvektoren angir da hastigheten til en partikkel i strålen.

Hvis man så antar at vektorfeltet har komponenten u_x = x², vil posisjonen til partikkelen være bestemt ved dx/dt = x². Løsningen av denne differensialligningen finnes ved direkte integrasjon å være 1/x₀ - 1/x = t  når man benytter samme grensebetingelse som tidligere angitt. Den er derfor

$x(t,x_{0})={x_{0} \over 1-tx_{0}}$

Man kan nå lett verifisere at den tilfredsstiller $x(s+t,x_{0})=x(s,x_{t})=x_{t}/(1-sx_{t})$.

Mer interessant er en todimensjonal mangfoldighet med vektorfeltet u = x e_y - y e_x. Flytlinjene er da bestemt ved ligningene dx/dt = - y og dy/dt = x. Multipliseres den første med x og den andre med y, får man

${d \over dt}{\big (}x^{2}+y^{2}{\big )}=0$

etter å addere dem sammen. Flytlinjene er derfor sirkler der $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ er den kvadrerte radius. Hvis partikkelen ved tiden t = 0 er i punktet $x_{0}^{\mu }=(x_{0},y_{0})$ med $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=a^{2}$, vil parameterfremstillingen av denne lukkete flytlinjen være

${\begin{aligned}x_{t}&=x_{0}\cos t-y_{0}\sin t\\y_{t}&=x_{0}\sin t+y_{0}\cos t\end{aligned}}$

Denne løsningen oppfyller de definerende ligningene (d /dt)x_t = - y_t  og (d /dt)y_t = x_t  samt grensebetingelsen og beskriver en rotasjon i xy-planet. Ved bruk av trigonometriske identiteter følger herav at ved et senere tidspunkt vil posisjonen $(x_{s+t},y_{s+t})$ på samme kunne uttrykkes ved $(x_{t},y_{t})$ i stedet for $(x_{0},y_{0})$.

Eksponensiering

Ved bruk av en Taylor-utvikling kan koordinatene x^μ(t) til et vilkårlig punkt på flytlinje beregnes fra et kompakt uttrykk. Det er basert på at dens tangentvektor kan skrives som u = d /dt. Da blir

$x^{\mu }(t)={\Big (}1+t{d \over dt}+{t^{2} \over 2!}{d^{2} \over dt^{2}}+{t^{3} \over 3!}{d^{3} \over dt^{3}}+\cdots {\Big )}x^{\mu }$

hvor de deriverte tas i utgangspunkt for t = 0 der koordinatene skrives som x^μ. Den uendelige rekken kan nå uttrykkes ved eksponentialfunksjonen og man har

$x^{\mu }(t)=e^{td/dt}x^{\mu }=e^{t\mathbf {u} }x^{\mu }$

Nå er $e^{(s+t)\mathbf {u} }=e^{s\mathbf {u} }e^{t\mathbf {u} }$ slik at løsningen på denne formen har den forventete egenskap at $e^{(s+t)\mathbf {u} }x^{\mu }=e^{s\mathbf {u} }x_{t}^{\mu }$. Operatorene $g(t)=e^{t\mathbf {u} }$ utgjør elementene i den enkleste Lie-gruppe. Den er generert av vektoroperatoren u og har egenskapen $g(s+t)=g(s)g(t).$ Det inverse elementet til $g(t)$ er $g^{-1}(t)=g(-t)=e^{-t\mathbf {u} }$ da enhetselementet er $g(0)=1$.

I det enkle eksemplet i én dimensjon hvor vektorfeltet har bare en komponent, er u = x²(∂/∂x) og

${\begin{aligned}x(t)&={\Big (}1+tx^{2}{\partial \over \partial x}+{t^{2} \over 2!}x^{2}{\partial \over \partial x}x^{2}{\partial \over \partial x}+\cdots {\Big )}x\\&=x+tx^{2}+t^{2}x^{3}+t^{3}x^{4}+\cdots ={x \over 1-tx}\end{aligned}}$

da den uendelige rekken er geometrisk. Dette er resultatet som tidligere ble funnet ved å løse en differensialligning.

En sirkulær flytlinje er generert av vektoren u = x ∂_y - y ∂_x. Derfor er ux = - y  og uy = x  slik at en endelig forskyvning fra (x,y) ved t = 0 blir

${\begin{aligned}x(t)&=e^{t\mathbf {u} }x=x-ty-{t^{2} \over 2!}x+{t^{3} \over 3!}y+{t^{4} \over 4!}x+\cdots \\&=x{\big (}1-{t^{2} \over 2!}+{t^{4} \over 4!}+\cdots {\big )}-y{\big (}t-{t^{3} \over 3!}+{t^{5} \over 5!}+\cdots {\big )}\\&=x\cos t-y\sin t\end{aligned}}$

og tilsvarende for $y(t)$ når man bruker Taylor-rekkene for de to trigonometriske funksjonene.

Kommutator

Når mangfoldigheten inneholder to vektorfelt u = u^μ e_μ og v = v^μ e_μ, kan man fra et gitt utgangspunkt P  generere flytlinjer i to forskjellige retninger. Hvis man da betrakter en liten forflytning tilsvarende en parameter ε << 1 til et punkt langs v og videre derfra langs u med den samme parameterforandringen, vil man i alminnelighet ikke ankomme samme punkt hvis man starter fra P og først beveger seg langs u og deretter langs v. Det følger fra

${\begin{aligned}e^{\varepsilon \mathbf {u} }e^{\varepsilon \mathbf {v} }-e^{\varepsilon \mathbf {v} }e^{\varepsilon \mathbf {u} }&=(1+\varepsilon \mathbf {u} +\cdots )(1+\varepsilon \mathbf {v} +\cdots )-(1+\varepsilon \mathbf {v} +\cdots )(1+\varepsilon \mathbf {u} +\cdots )\\&=\varepsilon ^{2}(\mathbf {u} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathbf {u} )\end{aligned}}$

i grensen hvor parameteren ε → 0. Om man ankommer det samme punktet langs de to forskjellige veiene eller ikke, er derfor bestemt av verdien til kommutatoren

$[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathbf {u} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathbf {u}$

Når den er forskjellig fra null, definerer den et nytt vektorfelt som representerer en forflytning i en tredje retning.

Begge vektorfeltene u og v er representert ved førsteordens derivasjonsoperatorer. Når de virker sammen i et produkt, vil de også gi derivasjoner av andre orden. Men i differeransen mellom produktene forsvinner disse bidragene slik at kommutatoren er en ny operator av første orden. Det følger fra en direkte utregning,

${\begin{aligned}{[}\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]&=u^{\mu }\partial _{\mu }(v^{\nu }\partial _{\nu })-v^{\nu }\partial _{\nu }(u^{\mu }\partial _{\mu })=u^{\mu }v_{,\mu }^{\nu }\partial _{\nu }-v^{\nu }u_{,\nu }^{\mu }\partial _{\mu }\\&=(u^{\nu }v_{,\nu }^{\mu }-v^{\nu }u_{,\nu }^{\mu })\partial _{\mu }\end{aligned}}$

når notasjonen $u_{,\nu }^{\mu }=\partial _{\nu }u^{\mu }$ benyttes. I tillegg kommuterer partiellderivasjoner med hverandre slik at ∂_μ∂_ν = ∂_ν∂_μ. Kommutatoren av to vektorfelt $[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathbf {w} =w^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }$ er derfor et nytt vektorfelt med komponenter $w^{\mu }=u^{\nu }v_{,\nu }^{\mu }-v^{\nu }u_{,\nu }^{\mu }$. Dette er av sentral betydning i teorien for Lie-grupper.

Lie-transport

Et punkt x på en flytlinje generert av et vektorfelt u = u^ν ∂_ν vil flyttes til et nytt punkt y = x(t ). Når parameteren t << 1 vll koordinatene til dette nye punktet kunne skrives som

${\begin{aligned}y^{\mu }&=e^{t\mathbf {u} }x^{\mu }=x^{\mu }+t\mathbf {u} x^{\mu }\\&=x^{\mu }+tu^{\mu }\end{aligned}}$

når man neglisjerer høyere ordens ledd i rekkeutviklingen av eksponentialfuksjonen. En skalar funksjon vil i dette punktet ha verdien F(y) som uten videre kan sammenlignes med verdien F(x ) i utgangspunktet til flytlinjen. Den Lie-transporterte funksjonsverdien fra y tilbake til x er derfor 'F_y(x) = F(y). Fra definisjonen følger herav at den Lie-deriverte av funksjonen blir

${\begin{aligned}L_{\mathbf {u} }F&=\lim _{t\to 0}{1 \over t}{\big [}F(x^{\mu }+tu^{\mu })-F(x^{\mu }){\big ]}\\&=u^{\mu }\partial _{\mu }F=\mathbf {u} F=D_{\mathbf {u} }F\end{aligned}}$

som sammenfaller med den retningsderiverte av funksjonen.

Vektorfelt

For den Lie-deriverte av et v = v^μ e_μ langs den samme flytlinjen definert ved u, vil Lie-transporten av komponentene v^μ fra y til x være den samme som for en skalar funksjon. Men basisvektorene e_μ(y) = ∂/∂y^μ vil være forskjellig fra basisvektorene e_μ(x) = ∂/∂x^μ. Sammenhengen er gitt ved transformasjonen y = x(t ). Den betyr at

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{\nu }(y)&={\partial \over \partial y^{\nu }}={\partial x^{\mu } \over \partial y^{\nu }}{\partial \over \partial x^{\mu }}={\big (}\delta _{\nu }^{\mu }-tu_{,\nu }^{\mu }{\big )}\partial _{\mu }\\&=\mathbf {e} _{\nu }(x)-tu_{,\nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }(x)\end{aligned}}$

Fra definisjonen av den Lie-deriverte kan nå denne beregnes og blir

${\begin{aligned}L_{\mathbf {u} }\mathbf {v} &=\lim _{t\to 0}{1 \over t}{\big [}v^{\nu }(x^{\mu }+tu^{\mu })(\mathbf {e} _{\nu }-tu_{,\nu }^{\mu }\mathbf {e} _{\mu })-v^{\nu }(x^{\mu })\,\mathbf {e} _{\nu }{\big ]}\\&=(u^{\nu }v_{,\nu }^{\mu }-v^{\nu }u_{,\nu }^{\mu })\,\mathbf {e} _{\mu }=[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{aligned}}$

På samme måte følger at

$L_{\mathbf {u} }(F\mathbf {v} )=(L_{\mathbf {u} }F)\mathbf {v} +F(L_{\mathbf {u} }\mathbf {v} )$

slik at Lie-derivasjon oppfyller Leibniz' produktregel.

Differensielle former

Basisformene på mangfoldigheten er gitt ved differensialene dx^μ slik at en generell 1-from kan skrives som ω = ω_μ dx^μ når man igjen benytter Einsteins summekonvensjon. Mens komponentene vil transformere som skalare funksjoner under Lie-transport, vil basisformene i de to punktene y = x(t ) være forbundet ved

$\mathbf {d} y^{\nu }=\mathbf {d} x^{\nu }+tu_{,\mu }^{\nu }\mathbf {d} x^{\mu }$

Dermed blir den Lie-deriverte av 1-formen

${\begin{aligned}L_{\mathbf {u} }{\boldsymbol {\omega }}&=\lim _{t\to 0}{1 \over t}{\big [}\omega _{\nu }(x^{\mu }+tu^{\mu })(\mathbf {d} x^{\nu }+tu_{,\mu }^{\nu }\mathbf {d} x^{\mu })-\omega _{\nu }(x^{\mu })\,\mathbf {d} x^{\nu }{\big ]}\\&=(u^{\nu }\omega _{\mu ,\nu }+\omega _{\nu }u_{,\mu }^{\nu })\,\mathbf {d} x^{\mu }\end{aligned}}$

Dette resultatet kan også finnes ved ytre derivasjon $\mathbf {d} {\boldsymbol {\omega }}=\omega _{\mu ,\nu }\mathbf {d} x^{\nu }\wedge \mathbf {d} x^{\mu }$ og kontraksjon $i_{\mathbf {u} }{\boldsymbol {\omega }}=\langle {\boldsymbol {\omega }},\mathbf {u} \rangle =\omega _{\mu }u^{\mu }$ av formen med vektoren u. Hvis nå den ytrederiverteo blir tatt av denne kontraksjonen og addert til kontraksjonen med u av $\mathbf {d} {\boldsymbol {\omega }}$, ser man at

${\begin{aligned}\mathbf {d} (i_{\mathbf {u} }{\boldsymbol {\omega }})+i_{\mathbf {u} }(\mathbf {d} {\boldsymbol {\omega }})&=(\omega _{\nu }u_{,\mu }^{\nu }+u^{\nu }\omega _{\nu ,\mu })\mathbf {d} x^{\mu }+u^{\nu }(\omega _{\mu ,\nu }-\omega _{\nu ,\mu })\mathbf {d} x^{\mu }\\&=(\omega _{\nu }u_{,\mu }^{\nu }+u^{\nu }\omega _{\mu ,\nu })\mathbf {d} x^{\mu }\end{aligned}}$

Den Lie-deriverte av formen kan derfor skrives som

$L_{\mathbf {u} }{\boldsymbol {\omega }}=(\mathbf {d} i_{\mathbf {u} }+i_{\mathbf {u} }\mathbf {d} ){\boldsymbol {\omega }}$

og er uavhengig av koordinater. Selv om resultatet her er utledet for en 1-form, viser det seg å være gyldig for en vilkårlig k-form og bærer navnet til Élie Cartan.

Fra disse generelle egenskapene til den Lie-deriverte av differensialformer, finner man for eksempel også viktige konsekvenser som

$[L_{\mathbf {u} },L_{\mathbf {v} }]{\boldsymbol {\omega }}=(L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }-L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }){\boldsymbol {\omega }}=L_{[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}{\boldsymbol {\omega }}$

og

$L_{\mathbf {u} }({\boldsymbol {\alpha }}\wedge {\boldsymbol {\beta }})=(L_{\mathbf {u} }{\boldsymbol {\alpha }})\wedge {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\alpha }}\wedge (L_{\mathbf {u} }{\boldsymbol {\beta }})$

som er Leibniz' produktregel for vilkårlige differensialformer α og β.

Tensorer

Ved bruk av produktregelen som Lie-derivasjon oppfyller, kan også dens effekt på tensorer finnes. Det kan illustreres ved å betrakte tilfellet når den er av andre grad med en kovariant og en kontravariant indeks,

$\mathbf {T} =T_{\;\nu }^{\mu }\,\mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {d} x^{\nu }$

Den deriverte i retning u er da

$L_{\mathbf {u} }\mathbf {T} =(L_{\mathbf {u} }T_{\;\nu }^{\mu })\,\mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {d} x^{\nu }+T_{\;\nu }^{\mu }(L_{\mathbf {u} }\mathbf {e} _{\mu })\otimes \mathbf {d} x^{\nu }+T_{\;\nu }^{\mu }\,\mathbf {e} _{\mu }\otimes (L_{\mathbf {u} }\mathbf {d} x^{\nu })$

hvor den Lie-deriverte av komponentene er gitt ved den retningsderiverte D_u og

$L_{\mathbf {u} }\mathbf {e} _{\mu }=-u_{,\mu }^{\nu }\mathbf {e} _{\nu },\;\;L_{\mathbf {u} }\mathbf {d} x^{\nu }=u_{,\mu }^{\nu }\mathbf {d} x^{\mu }$

Etter navneskifte på noen av indeksene kan resultatet skrives som

$L_{\mathbf {u} }\mathbf {T} ={\big (}T_{\;\nu ,\lambda }^{\mu }u^{\lambda }-T_{\;\nu }^{\lambda }u_{,\lambda }^{\mu }+T_{\;\lambda }^{\mu }u_{,\nu }^{\lambda }{\big )}\mathbf {e} _{\mu }\otimes \mathbf {d} x^{\nu }$

Anvendelser på tensorer av høyere rang kan herav lett finnes. Når tensoren bare har kovariante og fullstendig antisymmetriske komponenter, vil denne fremgangsmåten sammenfalle med hva som tidligere ble funnet for den Lie-deriverte av en differensialform.