Geometrisk rekke

En geometrisk rekke er en rekke der forholdet mellom hvert ledd og det foregående er konstant. Geometriske rekker har et stort bruksområde, både i matematikk og i andre fagområder. Rekkene brukes blant annet for å beregne tilnærminger til andre funksjoner. Geometriske rekker kan også benyttes i modeller der noe vokser eksponentielt.

Formell definisjon

En geometrisk rekke er en rekke der hvert ledd er lik det foregående leddet multiplisert med en konstant $k$. Konstanten kalles kvotienten i rekka. En geometrisk rekke er altså på formen

$a+a\cdot k+a\cdot k^{2}+...+a\cdot k^{n-1}=a\sum _{i=1}^{n}k^{i-1}.$

Her er a det første leddet i rekka, k er kvotienten, og n er antall ledd i rekka. Rekka kan også ha et uendelig antall ledd:

$a\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n}}$

En uendelig geometrisk rekke er konvergent dersom absoluttverdien til kvotienten k er mindre enn 1, ellers er rekka divergent.

I en alternerende rekke er kvotienten negativ, og annet hvert ledd har negativt fortegn.

Eksempel

Et eksempel på en geometrisk rekke er

$3+6+12+24+48+...\,$

I denne rekka er det første leddet 3, og kvotienten er lik ${\frac {6}{3}}={\frac {12}{6}}={\frac {24}{12}}=...=2$.

Et eksempel på en alternerende geometrisk rekke er gitt ved

$3-6+12-24+48...\,$

I denne rekka er det første leddet 3, og kvotienten er ${\frac {-6}{3}}={\frac {12}{-6}}={\frac {-24}{12}}=...=-2$.

Summen av geometriske rekker

Vi kan utlede formelen for summen av en endelig geometrisk rekke ved å lage oss to ligninger og legge sammen.

Vi har av definisjon at summen er

$S_{n}=a+a\cdot k+a\cdot k^{2}+...+a\cdot k^{n-1}\ \ \ \ (1)$

Men vi kan også gange (1) med k på begge sider slik at vi får

$S_{n}\cdot k=a\cdot k+a\cdot k^{2}+a\cdot k^{3}+...+a\cdot k^{n}\ \ \ \ (2)$

Hvis vi nå trekker ligning (1) fra ligning (2) får vi:

$S_{n}\cdot k-S_{n}=-a+(a\cdot k-a\cdot k)+(a\cdot k^{2}-a\cdot k^{2})+...+(a\cdot k^{n-1}-a\cdot k^{n-1})+a\cdot k^{n}$

Vi ser at alle leddene utenom $-a$ og $a\cdot k^{n}$ nulles ut, og vi står igjen med

$S_{n}\cdot k-S_{n}=-a+a\cdot k^{n}$

$S_{n}\cdot (k-1)=a\cdot (k^{n}-1)$

Vi får dermed formelen for summen av rekka:

$S_{n}=a\cdot {\frac {k^{n}-1}{k-1}},\ k\neq 1$

Merk at kvotienten må være ulik 1 for at denne formelen skal holde. Når kvotienten er 1 har vi i midlertid en rekke der alle leddene er lik det første leddet. En slik rekke har, av definisjonen på multiplikasjon, summen $S_{n}=a\,n$.

Konvergens og divergens

Uendelige geometriske rekker kan enten konvergere eller divergere. Rekka er konvergent dersom summen av uendelig mange ledd går mot en bestemt verdi, det vil si at grenseverdien

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }a\cdot {\frac {k^{n}-1}{k-1}}$

eksisterer. Hvis den ikke gjør det, går rekkas sum mot en uendelig stor verdi, og rekka er divergent.

Man kan avgjøre om en rekke er konvergent ved å se på absoluttverdien av kvotienten. Dersom $|k|<1$ konvergerer rekka. Dersom $|k|\geq 1$ divergerer den. Dette blir fort opplagt hvis vi ser på noen slike rekker:

$2+4+8+16+32+...\,$

Her er kvotienten, 2, større enn 1, og vi ser at leddenes verdi bare øker utover i rekka. Da kan ikke summen nærme seg noe bestemt tall, og rekka er divergent.

$2+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+...$

Her er kvotienten, ${\frac {1}{2}}$ mindre enn 1. Leddenes verdi blir stadig mindre, og etter hvert forsvinnende liten. Dermed er det rimelig at det må eksistere en sum av denne rekken.

Summen av en konvergent geometrisk rekke

Dersom $|k|<1$ vil $k^{n}$ i telleren i sumuttrykket bli uendelig liten når $n$ går mot uendelig. Da får vi grenseverdien $S=\lim _{n\to \infty }a\cdot {\frac {k^{n}-1}{k-1}}=a\cdot {\frac {0-1}{k-1}}={\frac {-a}{k-1}}={\frac {a}{1-k}}$.

Bruksområder

Geometriske rekker er nyttige i mange sammenhenger.

Eksempel: Medisin

En pasient skal ta smertestillende tabletter i ubestemt tid. Medikamentet er ikke skadelig så lenge det ikke er mer enn 150mg av stoffet i kroppen, og kroppen skiller ut 30% av stoffet hver dag. For å bestemme den høyeste daglige dosen som er forsvarlig, kan geometriske rekker benyttes.

Vi kaller den daglige dosen, målt i mg, for $x$. Rett etter pasienten har tatt første tablett, har han $x$ mg av stoffet i kroppen. Neste dag, etter han har tatt neste tablett, har han $x$ nye mg i kroppen, men samtidig har han 70% av gårsdagens dose igjen. Han har altså $x+0.7x$ mg av stoffet i kroppen. Tredje dag har han $x+0.7x+0.7^{2}x$ av stoffet i kroppen, og så videre. Vi ser at det dannes en geometrisk rekke med første ledd x og kvotient 0.7.

Etter hvert som dagene går, vil rekka øke i lengde. Da vil summen av rekka vil komme nærmere og nærmere summen av den uendelige rekka $x+0.7x+0.7^{2}x+0.7^{3}x+...$ som har sum $S={\frac {a}{1-k}}={\frac {x}{1-0.7}}={\frac {x}{0.3}}$. At det til enhver tid ikke må være mer enn 150mg i kroppen er det samme som at denne summen ikke må være større enn 150mg:

${\frac {x}{0.3}}=150$

$x=150\cdot 0.3=45$

Den høyeste akseptable daglige dosen er altså 45mg. Høyere daglige doser enn dette, vil over tid (etter hvert som summen nærmer seg summen av den uendelige rekka) føre til en for høy del av stoffet i kroppen.

Eksempel: Økonomi

Geometriske rekker brukes mye i økonomi. Innenfor økonomi er det mye som vokser eller minker med faste årlige andeler. Penger på en sparekonto forrentes eksempelvis hvert år. Et eksempel er artikkelen om Annuitetslån. Vi kan se på et eksempel om sparing: En person vil føre over 15000 til en sparekonto hvert år. En problemstilling kan være å finne ut hvor mye det f.eks. er på kontoen etter 10 år, når vi lar renten være fast og lik 4%, og går ut i fra at forrentningen skjer ved utgangen av hvert år.

Ved utgangen av det første året er det $15000\cdot 1.04$ kr på kontoen, altså den første overføringen som har blitt forrentet én gang. Neste år er det $15000\cdot 1.04+15000\cdot 1.04^{2}$ kr på kontoen. Altså den første overføringen som nå har blitt forrentet to ganger, og den siste overføringen som har blitt forrentet én gang. Slik fortsetter det, og vi ser at det dannes en endelig geometrisk rekke (det siste innskuddet først):

$15000\cdot 1.04+15000\cdot 1.04^{2}+15000\cdot 1.04^{3}+...+15000\cdot 1.04^{10}$

Første ledd er $15000\cdot 1.04$ og kvotienten er 1.04. Etter 10 år er det klart at han har et beløp lik summen av denne rekka på kontoen:

$S=a\cdot {\frac {k^{n}-1}{k-1}}=15000\cdot 1.04\cdot {\frac {1.04^{10}-1}{1.04-1}}=187295$

Etter 10 år har han altså spart omtrent 187300kr.