Lukning (matematikk)

En mengde er lukket under en operasjon hvis utførelse av operasjonen på elementer i mengden alltid gir som resultat et element i den samme mengden. I dette tilfellet sier vi også at mengden er lukket under denne operasjonen. For eksempel, de reelle tallene er lukket under subtraksjon, noe de naturlige tallene ikke er: 3 − 8 = − 5, som ikke er et naturlig tall. Et annet eksempel er mengden som bare består av tallet 0, som er lukket under addisjon, multiplikasjon og subtraksjon. Noen flere eksempler som ikke har lukningsegenskapen: de naturlige tallene er ikke lukket under divisjon, siden for eksempel 7/3 ikke er et naturlig tall. De reelle tallene er ikke lukket under kvadratrot, siden for eksempel ${\sqrt {-1}}=i$ er et komplekst tall, ikke et reelt tall.

På tilsvarende vis sies en mengde å være lukket under en samling av operasjoner dersom mengden er lukket under hver av operasjonene individuelt.

Grunnleggende egenskaper

En mengde som er lukket under en operasjon eller samling av operasjoner sies å tilfredsstille en lukningsegenskap. Ofte innføres en lukningsegenskap som et aksiom, som da blir kalt lukningsaksiomet. Moderne mengdeteoretiske definisjoner definerer vanligvis operasjoner som avbildninger mellom mengder, så å legge lukning til strukturen som et aksiom er overflødig; men i praksis er ofte operasjoner gitt i utgangspunktet på en overmengde av den aktuelle mengden, og derfor kreves det et bevis for lukning. For eksempel, mengden av partall er lukket under addisjon, men mengden av oddetall er ikke .

Når en mengde S ikke er lukket under en operasjon, så kan man ofte finne den minste mengden som inneholder S og som er lukket. Denne minste mengden kalles lukningen av S (med hensyn på disse operasjonene). For eksempel, lukningen av de naturlige tallene (betraktet som delmengde av de reelle tallene) med hensyn på subtraksjon, er mengden av hele tall. Et viktig eksempel er topologisk lukning. Begrepet lukning generaliseres av Galois forbindelser, og videre av monader.

Mengden S må være en delmengde av en lukket mengde for at lukningsoperasjonen skal være definert. I det foregående eksemplet, er det viktig at de reelle tallene er lukket under subtraksjon; i domenet av de naturlige tallene er ikke subtraksjon alltid definert.

Eksempler

• I topologi og relaterte felt, så består den relevante operasjonen i å ta grenser. Den topologiske lukningen av en mengde er den tilsvarende lukningsoperatoren. Kuratowskis lukningsaksiomer karakteriserer denne operatoren.
• I lineær algebra, så er det lineære spennet av en mengde X av vektorer lukningen av den mengden; det er den minste delmengden av det vektorrommet som inneholder X og som er lukket under operasjonen å danne lineære kombinasjoner. Denne delmengden er et lineært delrom.
• I matroideteori, så er lukningen av X den største supermengden til X som har samme rang som X.
• I mengdelære, den transitive lukningen av en binærrelasjon.
• I abstrakt algebra, den algebraiske lukningen av en kropp.
• I geometri, den konvekse innhyllningen av en mengde S av punkter er den minste konvekse mengden som inneholder S som delmengde.

Se også

• Åpen mengde
• Åpenlukket mengde