1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

De første tusen leddene og delsummene av 1 − 2 + 3 − 4 + …

I matematikken er 1 − 2 + 3 − 4 + … den uendelige rekken hvis ledd er ordensfølgende positive heltall, gitt alternerende rekker. Ved å legge sammen, vil summen av de første m leddene i rekken uttrykkes som

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

Uendelige rekker divergerer, som betyr at følgen av delsummene (1, −1, 2, −2, …) ikke går mot noen endelig grense. Tilsvarende; man sier at 1 − 2 + 3 − 4 + … mangler en sum.

På midten av 1700-tallet skrev Leonhard Euler om hva han mente var en paradoksal ligning:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

En gyldig forklaring (matematikken krever utredelse/bevis) på denne ligningen kom ikke før langt senere. I 1890 satte Ernesto Cesàro, Émile Borel og andre igang en undersøkelse av veldefinerte (logiske) metoder for å lede generaliserte summert til divergerende rekker — inkludert nye tolkninger av Eulers forsøk. Mange av disse summemetodene leder greit til 1 − 2 + 3 − 4 + … en «sum» på 1/4 likevel. Cesàro summabilitet er én av få metoder som ikke summerer 1 − 2 + 3 − 4 + …, så rekkene er eksempler hvor en litt sterkere metode, som f.eks. Abelsk summasjon, er nødvendig.

Rekkene 1 − 2 + 3 − 4 + … er nært relatert til Guido Grandis Grandis rekker 1 − 1 + 1 − 1 + …. Euler behandlet disse to som spesialtilfeller av 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … for tilfeldig n, et forskningsarbeid som utvidet hans arbeid knyttet til Baselproblemet ledet mot de funksjonalligningene vi nå kjenner som Dirichlet eta-funksjonen og Riemann zeta-funksjonen.

Divergens

Rekkens ledd (1, −2, 3, −4, …) vil aldri bli 0; derfor divergerer 1 − 2 + 3 − 4 + … ved en periodisk test. For senere bruk, vil det også være nyttig å se divergensen på et fundamentalt nivå. Per definisjon er konvergensen eller divergensen til en uendelig rekke bestemt ved konvergensen eller divergensen av dens følge med delsummer, og delsummene av 1 − 2 + 3 − 4 + … er:

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

Denne følgen er kjent for å treffe hvert heltall én gang — til og med 0 dersom man regner med den tomme delsummen — og dermed oppnår et tellbart sett $\mathbb {Z}$ med heltall. Den konvergerer åpenbart ikke mot et spesifikt tall, så 1 − 2 + 3 − 4 + … divergerer.

Heuristikk for summering

Stabilitet og linearitet

Siden leddene 1, −2, 3, −4, 5, −6, … følger et enkelt mønster, kan rekken 1 − 2 + 3 − 4 + … manipuleres ved bytting og summere ledd-for-ledd for å oppnå en numerisk verdi. Hvis man på en logisk måte kan skrive s = 1 − 2 + 3 − 4 + … for et vanlig tall s, vil følgende manipulasjoner argumentere for s = 1/4:

${\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&+(-2+3+3-4)&+(3-4-4+5)&+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}$

Ved å legge til 4 kopier av 1 − 2 + 3 − 4 + …, ved kun å bruke bytter og legge sammen ledd-for-ledd, blir svaret 1. Både venstre- og høyresiden viser to kopier av 1 − 2 + 3 − 4 + … tillagt 1 − 1 + 1 − 1 + ….

Så $s={\frac {1}{4}}$. Denne utledningen vises grafisk på bildet til høyre.

Selv om 1 − 2 + 3 − 4 + … ikke har noen sum i denne forstand, kan ligningen s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 bli støttet som det mest naturlige svaret, dersom en slik sum skal defineres. En generalisert definisjon av «summen» av en divergent rekke blir kalt summemetoden eller summabilitetsmetoden, som summerer noen delmengder av alle mulige rekker. Det finnes mange forskjellige metoder (som blir forklart under) som blir beskrevet ved deres felles egenskaper med normal summering. De ovenstående manipulasjonene beviser følgende: Gitt en hvilken som helst summemetode som er lineær, stabil og som summerer rekken 1 − 2 + 3 − 4 + …, så vil summen bli 1/4. Videre, siden

${\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+3-4+\cdots )&+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)\\{\frac {1}{2}}&=&&1-1+1-1\cdots \\\end{array}}$

må en slik metode også summere Grandis rekke som 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1/2.

Cauchy-produkt

I 1891 uttrykte Ernesto Cesàro håp om at divergente rekker ville bli ledet mot infinitesimalregning, og påpekte at "Man skriver allerede (1 − 1 + 1 − 1 + …)² = 1 − 2 + 3 − 4 + … og hevder at begge sidene er lik 1/4." For Cesàro var denne ligningen en anvendelse av et teorem som han hadde offentliggjort året før, som kanskje var det første teoremet i summerbare divergerende rekkers historie. Detaljene rundt summeringsmetoden vises under; den grunnleggende tanken er at 1 − 2 + 3 − 4 + … er Cauchy-produktet av 1 − 1 + 1 − 1 + … med 1 − 1 + 1 − 1 + ….

Fil:Pm1234 Cauchy.svg

1 − 2 + 3 − 4 + … som et dobbelt Cauchy-produkt av 1 − 1 + 1 − 1 + …

Cauchy-produktet av to uendelige rekker defineres selv om begge divergerer. I dette tilfellet, hvor Σa_n = Σb_n = Σ(−1)ⁿ, er leddene i Cauchy-produktet gitt ved de endelige diagonale summene

${\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}$

Produktrekken er da

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .$

Derfor vil en summeringsmetode som tar hensyn til Cauchy-produktet av to rekker og summer 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1/2, også summere 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4. Med resultatet fra forrige avsnitt, impliserer dette en likhet mellom summabiliteten av 1 − 1 + 1 − 1 + … og 1 − 2 + 3 − 4 + … med metoder som er lineæra, stabile og som respekterer Cauchy-produktet.

Cesàros teorem er et spissfindig eksempel. Rekken 1 − 1 + 1 − 1 + … er Cesàro-summerbar i svakeste forstand, kalt (C, 1)-summerbar, mens 1 − 2 + 3 − 4 + … krever en sterkere form av Cesàros teorem, siden den er (C, 2)-summerbar. Siden alle formene av Cesàros teorem er lineære og stabile, blir verdien av summene akkurat som utregnet.

Spesifikke metoder

Cesàro og Hölder

Grafisk visning av (H, 2) summen av 1/4

For å finne (C, 1) Cesàro-summen av 1 − 2 + 3 − 4 + …, dersom den eksisterer, må man regne ut det aritmetiske gjennomsnittet av delsummene i rekken. Delsummene er

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

og de aritmetiske gjennomsnittene av disse delsummene er

1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, ….

Denne følgen av gjennomsnitt konvergerer ikke, så 1 − 2 + 3 − 4 + … er ikke Cesàro-summerbar.

Det eksisterer to velkjente generaliseringer av Cesàro-summering: den konseptuelt enkleste av disse er følgen av (H, n) medtoder for naturlige tall n. Summen (H, 1) Cesàro-summering, og høyere metoder gjentar utregningen av gjennomsnitt. Over konvergerer de like gjennomsnittene mot 1/2, de alle andre gjennomsnittene er lik 0, så gjennomsnittene av gjennomsnittene konvergerer mot middelverdien av 0 og 1/2, som er 1/4. Så 1 − 2 + 3 − 4 + … er (H, 2) summerbar til 1/4.

«H» står for Otto Hölder, som først beviste i 1882 hva matematikere nå anser som sammenhengen mellom abelsk summasjon og (H, n) summering; 1 − 2 + 3 − 4 + … var hans første eksempel. Det faktum at 1/4 er (H, 2) summen av 1 − 2 + 3 − 4 + … garanterer at det også er den abelske summen; dette vil også bli direkte bevist nedenfor.

Den andre vanlige generaliseringen av Cesàro-summeringen er følgen av (C, n) metoder. Det har blitt bevist at (C, n) summering og (H, n) summering alltid gir samme resultat, men de har forskjellige historiske bakgrunner. I 1887 var Cesàro nær en definisjon på (C, n) summeringen, men han ga bare noen få eksempler. I hovedsak; han summerte 1 − 2 + 3 − 4 + …, til 1/4 med en metode som kan omskrives til (C, n), men som ikke var godtatt på den tiden. Han definerte formelt (C, n) metoder i 1890, for å kunne underbygge sitt teoreom om at Cauchy-produktet av en (C, n)-summerbar rekke og en (C, m)-summerbar rekke er (C, m + n + 1)-summerbar.

Abelsk summasjon

Noen deler av 1−2x+3x²+…; 1/(1 + x)²; og grenser ved 1

I et skriv fra 1749 innrømmer Leonhard Euler at rekken divergerer, men forbereder seg på å summere den likevel:

...når det blir sagt at summen av denne rekken 1−2+3−4+5−6 etc. er 1/4, må det se paradoksalt ut. For ved å addere 100 ledd i denne rekken får vi –50, og likevel, summen av 101 ledd gir +51, noe som er ganske forskjellig fra 1/4, og den blir enda større når man øker antall ledd. Men jeg har tidligere lagt merke til at det er nødvendig å gi ordet sum en mer utfyllende mening….

Euler ba om en generalisering av ordet "sum" flere ganger. I tilfeller av 1 − 2 + 3 − 4 + …, er ideene hans like med det vi idag kjenner som abelsk summasjon:

...det er ikke lenger tvil om at summen av denne rekken 1−2+3−4+5 + etc. er 1/4, siden det kommer fra utvidelsen av formelen 1⁄(1+1)², som unektelig har en verdi på 1/4. Dette blir klarere hvis man tar for seg den generelle rekken 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + &c. som kommer frem når man utvider uttrykket 1⁄(1+x)², som denne rekken definitivt er lik med, etter at vi setter x = 1.

Det finner mange måter å se at, spesielt for absoluttverdier |x| < 1, har Euler rett i at

$1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.$

Man kan ta Taylorrekken av høyresiden, eller foreta vanlig polynomdivisjon. Ved å starte på venstresiden, kan man følge den typiske heuristikken ovenfor og prøve å multiplisere to ganger med (1+x) eller å ta kvadratroten av den geometriske rekken 1 − x + x² − …. Euler ser også ut til å foreslå derivasjon av den siste rekken, ledd for ledd.

Sett fra et moderne ståsted, definerer ikke rekken 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … en funksjon ved x = 1, så den verdien kan ikke omgjøres til det resulterende uttrykket. Siden funksjonen er definert for alle |x| < 1, kan man likevel ta grenseverdien når x går mot 1, og dette er definisjonen av den abelske summen:

$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.$

Euler og Borel

Euler-summering av 1/2 − 1/4

Euler innførte en annen teknikk for rekken: Euler-transformasjon, en av hans egne oppfinnelser. for å bruke Euler-transformasjonen i regning, begynner man med følgen med positive ledd som skaper de alternerende rekkene — i dette tilfellet 1, 2, 3, 4, …. Det første elementet i denne følgen er merket a₀.

Den neste trenger følgen av fremtidige differanser i 1, 2, 3, 4, …; dette er bare 1, 1, 1, 1, …. Det første elementet i denne følgen er merket Δa₀. Euler-transformasjonen avhenger også av differanser av differanser, og høyere gjentakelser, men alle fremtidige differanser i 1, 1, 1, 1, … er 0. Euler-transformasjonen av 1 − 2 + 3 − 4 + … er dermed definert som

${\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.$

I moderne terminologi sier man at 1 − 2 + 3 − 4 + … er Euler-summerbar med 1/4.

Euler-summeringen impliserer også en annen type summering. Ved å skrive 1 − 2 + 3 − 4 + … som

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),$

har man en relatert, «evig-konvergent» rekke

$a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x).$

Borel-summering av 1 − 2 + 3 − 4 + … er derfor

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.$

Separering av skalaer

Saichev og Woyczyński havner på 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 ved å bruke to fysiske lover: infinitesimalsk avslapping og separering av skalaer. Altså leder disse lovene dem til definisjonen av en bredt system som "φ-summeringsmetoder", hvor alle summerer rekken til 1/4:

• Dersom φ(x) er en funksjon med første- og annenderiverte som er kontinuerlige og integrerbare for (0, ∞), slik at φ(0) = 1 og grenseverdiene til φ(x) og xφ(x) ved +∞ begge er 0, da er

$\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.$

Dette resultatet generaliserer Abel-summeringen, som kan finnes ved å la φ(x) = exp(−x). Det generelle uttrykket kan finnes ved å sette leddene i par i en rekke over m og konvertere uttrykket til et Riemann-integral. For det sistnevnte, vil det tilsvarende beviset for 1 − 1 + 1 − 1 + … gi oss middelverditeoremet, men her trenger man sterkere Lagrange-form av Taylors teorem.

Generaliseringer

Euler summerer lignende rekker i Institutiones fra 1755

Det tredoble Cauchy-produktet av 1 − 1 + 1 − 1 + … er 1 − 3 + 6 − 10 + …, den alternerende rekken av trekanttall; dens Abel- og Euler-sum er 1/8. Det firedoble Cauchy-produktet av 1 − 1 + 1 − 1 + … er 1 − 4 + 10 − 20 + …, den alternerende rekken av tetraedriske tall, som har en Abel-sum på 1/16.

En annen generalisering av 1 − 2 + 3 − 4 + … i en litt annen retning er rekken 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … for andre verdier av n. For positive heltall n, har rekken følgende Abel-summer:

$1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}$

hvor B_n er Bernoullitallene. For n i partall, reduseres denne til

$1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0.$

Denne siste summen ble latterliggjort av Niels Henrik Abel i 1826:

«Divergente rekker er djevelens verk, og det er en skam at noen tør å skape eller bevise dem. Man kan få hva man ønsker ut av dem, dersom man bruker dem, og de har skapt masse ulykke og mange paradokser. Kan man komme på noe mer forferdelig enn å si at

0 = 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + etc.

hvor n er et positivt tall. Dette er noe å le av, mine venner.»

Cesàros lærer, Eugène Charles Catalan, pratet også nedsettende om divergente rekker. Påvirket av Catalan, refererte Cesàro først til de «konvensjonelle formlene» for 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … som «absurde likheter», og i 1883 uttrykte Cesàro et typisk synspunkt på den tiden, mo at formlene var falske, men merkelig nok likevel nyttige. Til slutt, i hans Sur la multiplication des séries fra 1890, tok Cesàro en moderne tilnærming som startet med definisjoner.

Rekken blir også undersøkt for verdier av n som ikke er heltall; disse utgjør Dirichlet eta-funksjonen. Deler av Eulers motivasjon for å undersøke rekker som er relatert til 1 − 2 + 3 − 4 + … var funksjonalligningen eta-funksjonen, som leder direkte til funksjonalligningen i Riemann zeta-funksjonen. Euler hadde allerede blitt kjent for å finne verdiene av disse funksjonene for positive partall (inkludert Basel-problemet), og han prøvde å finne verdiene av positive oddetall (inkludert Apérys konstant), et problem som fortsatt er unnvikende. Spesielt eta-funksjonen er lettere å hanskes med i Eulers metoder, siden dens Dirichlet-rekker er Abel-summerbare overalt; zeta-funksjonens Dirichlet-rekke er mye vanskeligere å summere der den divergerer. For eksempel, motparten av 1 − 2 + 3 − 4 + … i zeta-funksjonen er den ikke-alternerende rekken 1 + 2 + 3 + 4 + …, som har store anvendelsesområder i moderne fysikk, men krever mye kraftigere metoder for å summere.

Referanser

• Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2. 
• Davis, Harry F. (1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. 
• Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). «Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series». The Euler Archive. Besøkt 22. mars 2007. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link) Originally published as Euler, Leonhard (1768). «Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques». Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 17: 83–106. 
• Ferraro, Giovanni (1999). «The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics». Archive for History of Exact Sciences. 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. 
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0. 
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. . 
• Kline, Morris (1983). «Euler and Infinite Series». Mathematics Magazine. 56 (5): 307–314. 
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0674920961. 
• Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian utg.). Hindustan Pub. Corp. . 
• Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)
• Tucciarone, John (1973). «The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925». Archive for History of Exact Sciences. 10 (1-2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. 
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0387008365. 
• Weidlich, John E. (1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.