Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci
Født		ca. 1170 Pisa (Republikken Pisa, kildeforhold: formodentlig)
Død		13. århundre Pisa (Republikken Pisa, kildeforhold: formodentlig)
Beskjeftigelse		Matematiker, regnemester
Far		Guglielmo Bonacci
Nasjonalitet		Republikken Pisa
Leonardo Fibonacci på Commons

Leonardo Fibonacci (utt: Fibånatsji; ca. 1170 – ca. 1250) var en matematiker fra Pisa i Nord-Italia. Han er karakterisert som «den mest originale og kapable matematiker i kristen middelalder» og «uten verdig rival gjennom ni hundre år av europeisk midddelalder».

Fibonacci bidro hovedsakelig til aritmetikk og algebra, men også til geometri. Manuskriptet Liber abaci ble viktig for innføring av det hindu-arabiske tallsystemet i Europa, som erstatning for romertall. I dette verket presenterer han også fibonaccitallene.

Navneformer

Fra døpenavnet Leonardo er Fibonacci også kjent som Leonardo Pisano og Leonardo fra Pisa (italiensk: Leonardo de Pisa). Selv kalte han seg av og til Leonardo Bigollo, der det toscanske dialektordet bigollo vanligvis omsettes med «den vidfarne, den reisende», men også som «den åndsfraværende».

Etternavn var ikke vanlig i middelalderen, og Fibonacci er et kallenavn, dannet enten fra «filius Bonacci» = «sønn av Bonaccio», eller fra «filiorum Bonacci» = «familien Bonaccio». Navnet ble laget av den italienske historikeren og matematikeren Gillaume Libri (1803–1869) i 1838, inspirert av første setning fra Liber abaci:

«Incipt liber Abaci Compositus a leonardo filio Bonacij Pisano. In Anno MCCII (Fri oversettelse: Her begynner regneboken laget av Leonardo Pisano, familie Bonacci. I år 1202.)»

Liber abaci

Tilnavnet ble videre brukt av Baldassare Boncompagni (1821–1894), da han på 1800-tallet redigerte og ga ut to bind med skrifter av Leonardo, Scritti de Leonardo Pisano. Første bind inneholder Liber abaci, andre bind Practica geometriae, Epistola ad Magistrum Theodorum, Flos og Liber quadratorum.

Biografi

Kjennskap til Fibonaccis liv er hentet fra en kort - og tildels vag - selvbiografi, inkludert i andre-utgaven av manuskriptet Liber abaci. Ingen annen samtidig omtale av Fibonacci er kjent i dag, og heller ingen samtidig portrett av Fibonacci. Det er ikke kjent hvor han ble født eller hvor han døde, men familien kom fra Pisa. Leonardo vokste opp i Bugia (i dag Béjaïa) i Algerie. Den nøyaktige stillingen til faren, Gulielmo, er uklar, men han var utnevnt av republikken Pisa for å hjelpe og representere handelsmenn fra byen.

I Bugia fikk Leonardo opplæring i regnskap og matematikk, men opplæringen har antagelig vært kort og lite omfattende. Det blir ofte hevdet at læreren var muslim og bidro til å gjøre Fibonacci kjent med arabisk matematikk. Selvbiografien inneholder imidlertid ikke opplysninger om hvem som sto for opplæringen.

Han gjennomførte også reiser til Konstantinopel, Egypt, Syria, Hellas, Sicilia og Provence. På reisene har han brukt mulighetene til å studere bruk av det hindu-arabiske tallsystemet og matematikk generelt. Blant annet har han blitt kjent med arbeidene til grekeren Euklid og perseren Al-Khwârizmî. Reisene ble avsluttet rundt år 1200, og han returnerte til Pisa.

I 1202 ferdigstilte Fibonacci verket Liber abaci. I etterfølgende år skrev han flere verk som fikk stor betydning, både på grunn av egne, originale bidrag og for bidrag til å vekke til live gammel kunnskap. Alle Fibonaccis verk er skrevet i retorisk form, det vil si ved bruk av ord, tall og geometriske figurer, men uten symboler.

Rundt 1225 ble Fibonacci invitert til hoffet til keiser Fredrik II, da dette var samlet i Pisa. Johannes fra Palermo ved hoffet hadde laget flere matematiske problem for å utfordre Fibonacci, og løsning på noen av disse problemene ble presentert i etterfølgende skrifter fra Fibonacci. Noen kilder framstiller møtet i hoffet som en konkurranse mellom flere matematikere, men det har antagelig ikke vært tilfelle.

I en forordning fra 1240 i fra republikken Pisa blir Fibonacci gitt lønn, som takk for tjenester han har gitt byen.

Liber abaci

Side i Liber abaci

Utdypende artikkel: Liber abaci

Liber abaci (også skrevet Liber abbaci; norsk: Regneboken) er Fibonaccis mest kjent verk, gitt ut som et håndskrevet manuskript første gang i 1202. En noe revidert utgave laget Fibonacci i 1228. I dette verket presenteres bruken av de hindu-arabiske tallene 0, 1, ..., 9. Selv om en liten europeisk kunnskapselite kjente til disse, så var det romertall som var i allmenn bruk. Andre europeiske verk før Fibonacci hadde også presentert tallene, men disse var relativt ukjente. Liber abaci ble et svært viktig verk for å fremme allmenn bruk av arabiske tall, og verket ble kopiert og etterlignet mange ganger.

I verket presenterer Fibonacci både velkjente regnemetoder, metoder fra gresk og arabisk matematikk samt egen original utviklet matematikk. Fokus er på aritmetikk og algebra, og mange problemstillinger er hentet fra handelsregning og regnskapsføring. Her presenteres også tallene som i ettertid er blitt kalt fibonaccitall.

Practica geometriæ

Practica geometriae ((«Praktisk geometri»)) ble skrevet i 1220, som en innføring i geometri, kanskje for landmålere og arkitekter. Ni kopier av manuskriptet er bevart. Verket er dedisert til Dominicus Hispanus, som i likhet med Johannes fra Palermo var en av de lærde ved hoffet til Fredrik II.

I åtte kapitler går Fibonacci gjennom mange praktiske problem med å finne lengder, areal og volum. Boka bygger på Euklids Elementer og også på Euklids tapte verk Om deling (av figurer). Siste del av boka behandler beregninger knyttet til omkretsen av jorda.

Fibonacci gir en tilnærming til pi lik 4320/1375, som er korrekt til fire desimaler. Han bemerker at eldre skrifter har brukt den mer unøyaktige tilnærmingen 22/7.

Mange geometriske problem blir løst ved hjelp av algebra, i tråd med tradisjon fra arabisk matematikk.

Flos

Manuskriptet Flos («Blomster») skrev Fibonacci i 1225. Tittelen skal kanskje indikere at algebra er «blomsten i matematikk». Her gir Fibonacci løsning på to problem som han hadde fått av Johannes fra Palermo.

Problem 1

Finn løsninger av tredjegradsligningen

$x^{3}+2x^{2}+10x-20=0$.

Dette problemet hadde Johannes fra Palermo hentet det fra et manuskript fra den arabiske matematikeren Omar Khayyām, som ga løsning som skjæringen mellom en sirkel og en hyperbel. Fibonacci viser først at ligningen ikke kan ha løsninger på en form i euklidsk tradisjon, det vil si på formen $a+{\sqrt {b}}$, der $a$ og $b$ er rasjonale.

Fibonacci gir en tilnærmet løsning, uttrykt ved hjelp av seksagesimale brøker. I moderne notasjon kan Fibonaccis løsning skrives

$1^{\circ }\ 22'\ 7''\ 42'''\ 33^{IV}\ 4^{V}\ 40^{VI}$.

Siste verdien 40 er litt for høy, med 38 som et mer nøyaktig resultat. Fibonaccis svar er rett til ni desimaler, og det skulle gå flere hundre år i Europa før en tilsvarende nøyaktighet ble oppnådd i beregning av en irrasjonal rot i en algebraisk ligning.

Det er ikke kjent hvordan Fibonacci kom fram til svaret. Basert på unøyaktigheten i siste brøken er det gjort flere forsøk på å rekonstruere hvilken metode Fibonacci kan ha brukt. Det er mulig at han kjente til Horners metode for å finne en tilnærmet rot.

Problem 2

Tre menn eide sammen en pengesum, med andeler 1/2, 1/3 og 1/6. Fra summen tok hver av mennene en vilkårlig del inntil alle pengene var delt. Den første mannen returnerte deretter 1/2 av det han hadde tatt, den andre returnerte 1/3 og sistemann returnerte 1/6. Etter at pengene som var returnert var delt likt mellom de tre mennene, så hadde hver mann fått det han hadde rett til. Hvor mye penger var i den opprinnelige summen, og hvor mye penger hadde hver mann tatt?

Her er drøfting av ubestemte ligninger, det vil si ligninger med flere variable og uendelig mange løsninger. Ligningene har likhetsgrad med diofantiske ligninger. Han drøfter også bestemte ligninger, tilsvarende en kan finne hos Euklid og hos kinesiske og arabiske forfattere. Fibonacci må ha hentet inspirasjon fra mange forskjellige kilder.

Liber quadratorum

Liber quadratorum («Boken om kvadrattall») ble skrevet samme år som Flos, i 1225. Et kvadrattall er et tall som på forma $x^{2}$, og Fibonacci studerer både heltall og rasjpnale tall på denne forma. Blant Fibonaccis manuskript er dette det som har fått mest ros i ettertiden, som et et originalt og imponerende tallteoretisk verk.

«Selv om Liber abaci er mer kjent, er Liber quadratorum alene nok til å rangere Fibonacci som den viktigste bidragsyteren til tallteori mellom Diofant og Fermat »

Britannica

Verket er dedisert til Fredrik II. Ett av problemene som presenteres var gitt Fibonacci av Johannes fra Palermo: Finn et kvadrattall som vil gi nye kvadrattall dersom en legger til eller trekker fra et heltall. Fibonacci gir svaret:

${\begin{alignedat}{2}x&=11{\frac {97}{144}}=(3{\frac {5}{12}})^{2}\\x-5&=(6{\frac {97}{144}})^{2}=(2{\frac {7}{12}})^{2}\\x+5&=(16{\frac {97}{144}})^{2}=(4{\frac {1}{12}})^{2}\end{alignedat}}$

To rettvinklede trekanter med (katet,hypotenus) lik henholdsvis (7,13) and (13,17) har begge en tredje side med lengde ${\sqrt {120}}$. Tallet 120 er et congruum.

Løsningsmetoden til Fibonacci er original og bygger på et mer generelt resultat i manuskriptet: Differensen mellom tre ledd i en aritmetisk følge som alle tre er kvadrattall, kaller Fibonacci congruum (av latin congruere = «møte, samsvare»). Congruum-problemet er i dag navnet på oppgaven å finne tre slike kvadrattall og den samsvarende differensen. Fibonacci viser den følgende relasjonen:

${\begin{alignedat}{2}a&=y^{2}+2xy-x^{2}\\b&=x^{2}+y^{2}\\c&=x^{2}+2xy-y^{2}\\a^{2}&=b^{2}-4xy(x^{2}-y^{2})\\c^{2}&=b^{2}+4xy(x^{2}-y^{2})\end{alignedat}}$

Ved å velge vilkårlige $x$ og $y$ får en dannet de tre kvadrattallene. Fibonacci ser ut til å forstå at et congruum ikke selv kan være et kvadrattall, men fører ikke bevis for dette,

Av andre generelle resultat viser Fibonacci blant annet at et hvert kvadrattall kan skrives som en endelig sum av oddetall:

$n^{2}=1+3+5+\cdots +(2n-1)$

Han viser også flere sammenhenger mellom kvadrattall, som for eksempel

$\left({{x^{2}-1} \over 2}\right)^{2}+x^{2}=\left({{x^{2}+1} \over 2}\right)^{2}$.

Boka viser de følgende identitetene og bruker disse gjentatte ganger:

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}=(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}$.

Disse er i ettertiden kalt Fibonaccis identiteter.

Epistola ad magistrum Theodorum

Epistola ad magistrum Theodorum er et brev skrevet til magister Teodor, keiserlig hoffilosof hos Fredrik II.

I brevet beskrives blant annet et problem med å innskrive en regulær pentagon i en likebent trekant. Trekanten har grunnlinje 12 og sidelengder 10. Fibonacci bruker en sidelengde i pentagonet som ukjent, og finner en andregradsligning for denne. Løsningen er irrasjonal, og Fibonacci gir en tilnærmet løsning uttrykt ved hjelp av seksagesimale brøker.

Tapte verk

• Di minor guisa («På en mindre måte») – Handelsregning. Kanskje en forenklet utgave av Liber abaci.
• Kommentarer til Bok X av Euklids ‘Elementer’ – Numerisk behandling av irrasjonale tall.

Ettermæle

Statue av Leonardo Fibonacci, Camposanto monumentale i Pisa.

Carl B. Boyer deler matematikkhistorien i europeisk middelalder inn i to perioder: Første periode er mellom Boëthius (ca. 480 – ca. 524) og Fibonacci, andre periode fra Fibonacci og fram til Nicolas Chuquet (ca. 1450 – ca. 1495). I den første perioden var fokus på indisk, bysantinsk og arabisk matematikk, i den andre kom selvstendige europeiske bidrag. Fibonacci definerer på denne måten et tidsskille i europeisk matematikk.

Mye matematikk Fibonacci presenterte var for avansert til å bli forstått i samtiden. Den første viktige påvirkningen av arbeidet var derfor bidraget til innføring av de hindu-arabiske tallene samt beregningsmetoder for dagligdagse problem. Mange mer avanserte resultat ble gjenoppdaget først flere hundre år senere. I dag har fibonaccifølgen bidratt sterkt til å gjøre han kjent. I moderne matematikk har flere datatyper fått navn etter Fibonacci, hovedsakelig fordi de kan knyttes til fibonaccifølgen. Dette gjelder for eksempel fibonaccipolynom, som kan betraktes som en generalisering av fibonaccitall.

I Camposanto monumentale i hjembyen Pisa står en statue til minne om Fibonacci. Statuen ble laget av Giovanni Paganucci, fullført i 1863.

The Fibonacci Association er en organisasjon som samler forskere og entusiaster med interesse for Fibonacci og problemstillinger basert på hans arbeid. De utgir fagtidsskriftet The Fibonacci Quarterly og arrangerer internasjonale konferanser.

Fibonacci-dagen er 23. november. Datoen er valgt fra den engelske skrivemåten 11/23, der tallene 1,1,2,3 kommer fra fibonaccifølgen.

6765 Fibonacci er en mellomstor småplanet i asteroidebeltet, oppdaget i 1982. Diameteren er cirka 7,4 kilometer. Tallet 6765 er det tjuende fibonaccitallet.

Litteratur

• Carl B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3.