Rayleigh-Jeans’ strålingslov

Rayleigh-Jeans' strålingslov er en formel for den spektrale energitettheten til sort stråling og spilte historisk en viktig rolle i utforskningen av dens egenskaper. Den ble først foreslått i 1900 av Lord Rayleigh, men antok sin endelig form etter en korreksjon gjort av James Jeans i 1905. Den ble samme året også funnet av Einstein, men var allerede blitt vist å være et spesialtilfelle av den generelle strålingsloven til Max Planck.

Formelen til Rayleigh og Jeans var den første som var utledet ved betraktninger rundt strålingsfeltet alene. Fordi dette feltet består av elektromagnetiske bølger, kunne de beregne antall frihetsgrader i strålingen. Med kjennskap til den termiske energien for hver frihetsgrad fra klassisk fysikk, kunne de dermed finne den termiske energitettheten.

Matematisk form

I slutten av året 1900 kom den tyske fysiker Max Planck frem til sin strålingsloven for den spektrale energitettheten som funksjon av frekvensen ν og temperaturen T. Den kan skrives som

$u_{\nu }(T)={\frac {2\pi \nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {h\nu }{e^{h\nu /k_{B}T}-1}}$

hvor c er lyshastighten, k_B er Boltzmanns konstant og h er Plancks konstant som han måtte innføre. Denne formelen representerte begynnelsen på moderne kvantemekanikk.

Ved tilstrekkelig lave frekvenser og høye temperaturer slik at hν < k_BT, kan man benytte at e^x ≈ 1 + x  når x < 1 til å redusere formelen til den enklere utgaven

$u_{\nu }(T)={\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}k_{B}T$

Dette er Rayleigh-Jeans' strålingsformel. Den inneholder ikke lenger Plancks konstant. Dette ble forklart av Einstein i 1905 og omtrent samtidig av Lord Rayleigh og James Jeans, som viste at den er et direkte resultat av klassisk fysikk alene.

Det var i det samme arbeidet at Einstein viste at i den andre grensen hvor hν > k_BT og Wiens strålingslov gjelder, oppfører strålingen seg som om den består av partikler. I dag omtales disse som lyskvant eller fotoner. En konsekvens av denne innsikten var forklaringen Einstein samtidig ga av den fotoelektriske effekten, og han mottok i 1921 Nobelprisen i fysikk for dette bidraget til moderne fysikk.

Historisk utledning

Sommeren 1900 publiserte lord Rayleigh, som hadde innsikt i teorien for lyd og lydbølger, et arbeid om energien til sort stråling. Dette skjedde flere måneder før Max Planck lanserte sin nye strålingsteori. I motsetning til Planck tok lord Rayleigh utgangspunkt i de elektromagnetiske bølgene som utgjør strålingen. På samme måte som han kunne løse bølgeligningen for lydbølger i et lukket rom og dermed beregne hvor mange løsninger eller moder som kunne forefinnes, så kunne han vise at antall moder i et lukket hulrom med stråling var proporsjonalt med frekvensen. Hver slik mode representrerte en frihetsgrad som ifølge klassisk, statistisk fysikk skulle ha en energi proporsjonal med den absolutte temperaturen T. På den måten kom han frem til formelen

$u_{\nu }(T)=a\nu ^{2}Te^{-b\nu /T}$

hvor a og b var ukjente konstanter. Her hadde han tilføyet en eksponentialfunksjon som han behøvde for at energifordelingen skulle ha et maksimum som diktert av Wiens forskyvningslov. Med dette valget oppfylte formelen også det generelle kravet å variere som frekvensen ν i tredje potens multiplisert med en funksjon av ν/T.

Det viste seg snart at formelen stemte godt med de eksperimentelle resultatene som fantes. Om høsten 1900 ble den brukt av Rubens og Kurlbaum som en meget god tilpasning til deres nye måleresultater ved lavere frekvenser enn tidligere. Selv om den enda bedre formelen til Planck ble funnet noen få uker senere, forble likevel Rayleighs resultat av interesse.

Einstein 1905

Våren 1905 publiserte Einstein sitt store arbeid om sort stråling som i 1921 skulle gi han Nobelprisen i fysikk. Det baserte seg på Plancks formel

$u_{\nu }(T)={2\pi \nu ^{2} \over c^{3}}E(\nu ,T)$

for likevekt mellom strålingen og materielle resonatorer i veggene som omsluttet strålingen. Disse resonatorene var antatt å være harmoniske oscillatorer for å spille rollen som atom eller molekyl som man da ikke hadde noen god forståelse av. E er den midlere energi for en slik resonator som svinger med frekvensen ν og er i likevekt med strålingen med temperatur T. Fra tidligere beregninger av spesifikke varmekapasiteter var det kjent at en slik resonator har to frihetsgrader, hver tilsvarende en energi k_BT/2. Ut fra dette konkluderte Einstein med at E = k_BT. På den måten kom han frem til

$u_{\nu }(T)={2\pi \nu ^{2} \over c^{3}}k_{B}T$

som en direkte konsekvens av klassisk fysikk. Og det var akkurat klassisk fysikk Planck hadde brukt i sin utledning av likevektsformelen. Dette resultatet har senere fått navnet Rayleigh-Jeans' strålingsformel, siden det var Lord Rayleigh som først hadde argumentert for den lineære avhengigheten av temperaturen.

Rayleigh 1905

Noen uker senere i 1905 offentliggjorte Lord Rayleigh et nytt arbeid om sort stråling, basert på sitt resultat fra fem år tidligere. Han hadde nå droppet den eksponensielle funksjonen i formelen sin, og beregnet den gjenværende konstanten a.

Det kunne han gjøre ved å finne løsningene av bølgeligningen

$\nabla ^{2}\Phi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial t^{2}}=0$

som hver komponent Φ(x,y,z,t) av det elektromagnetiske feltet må oppfylle. Her er ∇² er Laplace-operatoren. Løsningene må anta verdien null langs veggene til volumet V som omslutter bølgene slik at de forblir innestengt. Det er enklest å velge dette å være en kube med sidekant L slik at V = L³. Det betyr at løsningene må være av formen

$\Phi (x,y,z,t)=\Phi _{0}\sin {\pi xn_{x} \over L}\sin {\pi yn_{y} \over L}\sin {\pi zn_{z} \over L}\cos 2\pi \nu t$

hvor de hele tallene (n_x, n_y, n_z) karakteriserer hver løsning eller mode. Innsatt i bølgeligningen finner man at de må tilfredsstille betingelsen

$n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}=(2\nu L/c)^{2}$

Hver løsning som oppfyller denne, vil da være en tillatt mode og angi et punkt i et kubisk gitter. Antall løsninger dN_ν  i frekvensintervallet mellom ν og ν + dν vil, når sidekanten L er mye større enn bølgelengden c/ν, være gitt ved antall slike punkt i et kuleskall med radius 2νL/c og tykkelse (2L/c)dν . Det betyr at

$dN_{\nu }=4\pi (2\nu L/c)^{2}\cdot (2L/c)d\nu ={32V\pi \nu ^{2} \over c^{3}}d\nu$

Men ettersom dette er elektromagnetiske bølger med to forskjellige polarisasjonsretninger, må resultatet til slutt dobles. Volumfaktoren V vil ikke inngå når dette brukes til å beregne energitettheten som er energi per volumenhet.

På denne måten fant Lord Rayleigh at den ukjente konstanten a han hadde tidligere innført, måtte ha verdien a = 64π k_B /c³. Da hadde han konkludert, med et resonnement tilsvarende Einsteins resonnement, med at energien til en slik oscillerende mode måtte være k_BT. Dermed hadde han sin nye formel, som ikke lenger inneholdt noen ukjente konstanter. Men det som virkelig var nytt i Lord Rayleighs beregning, var å bruke et slikt resultat fra klassisk, statistisk fysikk for energien til en oscillerende, elektromagnetisk bølge.

Jeans 1905

Omtrent to måneder senere påpekte den mye yngre James Jeans at Lord Rayleigh hadde gjort en liten feil i sin beregning. I ligningen for de stående bølgene kunne modetallene (n_x, n_y, n_z) bare anta positive verdier. Dette reduserte resultatet for den spektrale energitettheten med en faktor 8, slik at den riktige formelen skulle være

$u_{\nu }(T)={2\pi \nu ^{2} \over c^{3}}k_{B}T$

I en kort publikasjon umiddelbart etterpå uttrykte Lord Rayleigh sin fulle enighet med denne korreksjonen til Jeans. Det som kanskje overrasket mest med deres resultatet, var at de hadde funnet faktoren som multipliserte k_BT på en helt annen måte enn hva Planck hadde gjort. Han hadde brukt termodynamikk og klassisk elektrodynamikk, mens her oppsto den ved å telle opp vanlige moder av stående bølger i et volum.

Beregning til Lord Rayleigh og Jeans stemte med hva Einstein allerede hadde funnet. Men deres utgangspunkt var ganske annerledes, og skulle i de følgende årene vise seg å være det beste. Det skulle likevel ta ytterligere tyve år før det med etableringen av kvantefeltteorien var full konsensus om dette.

Den ultrafiolette katastrofen

Den totale energitettheten er gitt ved den spektrale fordelingen integrert over alle frekvenser. Med loven til Rayleigh og Jeans vil dette integrale divergere når frekvensene blir svært høye, det vil si når energitettheten blir uendelig stor. Dét er fysikalsk umulig, noe som både var påpekt av disse to forfatterne og av Einstein i deres arbeider av 1905. Strålingsformelen til Planck hadde opplagt ikke dette problemet og var i overensstemmelse med Stefan-Boltzmanns lov. Jeans mente i lengre tid at dette ikke var noe problem, ettersom strålingen ved høye frekvenser ville trenge veldig lang tid for å komme i termisk likevekt med omgivelsene, og derfor ikke ville bidra til energitettheten ved normale forhold.

Men det ble snart klart at dette problemet i stedet viste at klassisk fysikk ikke kan brukes til å forklare egenskapene ved den sorte strålingen. Til dét trenger man en kvanteteori, noe Plancks strålingslov var det første eksempelet på. At divergensen opptrådte ved høye frekvenser, det vil si at den skyldtes ultrafiolett stråling, fikk den østerrikske fysiker Paul Ehrenfest til å kalle problemet for den ultrafiolette katastrofen. Fremdeles brukes dette navnet på lignende divergenser som opptrer ved meget høye energier i moderne kvantefeltteori.

Litteratur

• R.A. Serway, C.J. Moses and C.A. Moyer, Modern Physics, Saunders College Publishing, New York (1989). ISBN 0-03-004844-3.
• M. Longair, Theoretical Concepts in Physics, Cambridge University Press, England (2003). ISBN 978-0-521-82126-1.

Autoritetsdata