Spesifikk varmekapasitet

Spesifikk varmekapasitet for et materiale angir dets evne til å ta opp varme. Er denne liten, vil selv en stor temperaturøkning medføre lite opptatt varme - og omvendt. Mens varmekapasiteten er direkte proporsjonal med mengden av materiale, er molar varmekapasitet vanligvis angitt per antall mol med materiale eller som spesifikk varmekapasitet når den angis per masseenhet. Begge størrelsene brukes til å karakterisere materialets termiske egenskaper.

Definisjon

Hvis et stoff utsettes for en liten temperaturøkning ΔT og dermed tar opp en tilsvarende liten varmemengde ΔQ, defineres varmekapasiteten ved forholdet

$C_{X}=\left({\Delta Q \over \Delta T}\right)_{X}$

hvor størrelsen X angir andre forhold som holdes konstant under oppvarmingen. Dette kan være for eksempel ved konstant volum V, ved konstant trykk P eller ved konstant magnetfelt B.

Har stoffet en total masse m, er den "spesifikk varmekapasiteten" c_X = C_X /m. I SI-systemet måles denne i enheten J/kg K. Alternativt kan man definere en "molar varmekapasitet" c_X = C_X /n hvis materialet består av en mengde n mol. Den vil ha måleenhet J/mol K og brukes ofte i kjemiske sammenhenger eller mer teoretiske arbeider.

For en endelig oppvarming av materialet må det tilføres en varmemengde

$Q={m}{c_{X}}({T_{2}-T_{1}})$

sålenge temperaturøkning ikke blir så stor at varmekapasiteten forandres. Her er

Q = varmeenergi [J]

m = masse [kg]

c_X = spesifikk varmekapasitet [J/kgK]

T₁ = Temperatur før oppvarming

T₂ = Temperatur etter oppvarming

Tidligere ble varmeenergi ofte målt i antall kalorier med enhet cal. Denne ble definert som den energimengde som må til for å varme opp 1g vann ved standard trykk og temperatur med en grad. Ifølge denne definisjonen er derfor den spesifikke varmekapasitet til vann c_P = 1.0 cal/g K = 1.0 kcal/kg K. Med bruk av SI-enheter tilsvarer 1 cal = 4.18 J.

Termodynamikk

Når temperaturøkningen ΔT er veldig liten, skjer den resulterende varmetilførselen ΔQ  i termodynamisk likevekt. Fra termodynamikkens andre hovedsetning følger da ΔQ = T ΔS hvor ΔS  er økningen av entropien. Dermed kan man skrive at C_X  = T (ΔS/ΔT)_X. I grensen hvor ΔT  blir infinitesemal liten, kan den erstattes med differensialet dT. Dermed kan varmekapasiteten skrives som den termodynamiske deriverte

$C_{X}=T\!\left({\partial S \over \partial T}\right)_{X}$

Dette resultatet tillater beregning av varmekapasiteter fra kinetisk teori og statistisk mekanikk.

For et materiale som består av en viss mengde stoff med volum V, trykk P og indre energi U, sier termodynamikkens første hovedsetning på differensiell form at

$TdS=dU+PdV$

For en varmetilførsel som skjer under konstant volum, vil derfor TdS = dU og den tilsvarende varmekapasiteten kan finnes fra

$C_{V}=\left({\partial U \over \partial T}\right)_{V}$

Skulle derimot oppvarmingen skje under konstant trykk, har man at PdV = d(PV) og derfor TdS = dU + d(PV) = dH hvor H = U + PV er entalpien til materialet. Derfor er i dette tilfellet

$C_{P}=\left({\partial H \over \partial T}\right)_{P}$

Disse termodynamiske resultat er allmenngyldige og kan benyttes både for gasser, væsker og faste stoffer. De kan også lett generaliseres til andre forhold, som f.eks. magneter som påvirkes av ytre magnetfelt.

Ideelle gasser

Ideelle gasser har tilstandsligningen

$PV=nRT$

hvor n er antall mol partikler i gassen og R er den universelle gasskonstanten. Består den av partikler som er atomer, kan den indre energi U regnes ut i kinetisk teori. Resultatet er U = (3/2)nRT som tilsvarer varmekapasiteten C_V = (3/2)nR. Den spesifikke varmekapasiteten er derfor c_V = (3/2)R hvor verdien til den universelle gasskonstanten R = 8,314 J/mol K bestemmer størrelsen.

Direkte fra tilstandsligningen følger nå at entalpien til gassen er H = (3/2 + 1)nRT = (5/2)nRT slik at den molare varmekapasiteten ved konstant trykk er c_P = (5/2)R. Man har at c_P - c_V = R som gjelder for alle ideelle gasser, uansett om gasspartiklene har indre frihetsgrader eller ikke.

Tilsvarende kan den spesifikke varmekapasiteten beregnes fra definisjonen c_V = C_V /m. Her er massen til gassen m = nM hvor M er den molare massen til gasspartiklene. Dermed er c_V = (3/2)nR /nM = (3/2) R_s gitt ved den spesifikke gasskonstanten R_s = R/M. Den varierer fra gass til gass. For luft har den verdien R_s = 287 J/kg K.

Ekvipartisjonsprinsippet

Luft består hovedsakelig av 2-atomige molekyler O₂ og N₂. Hvert molekyl beveger seg fritt og gir opphav til den ideelle tilstandsligningen. Fra kinetisk teori gir denne frie bevegelsen i tre retninger en indre energi som er (3/2)k_BT per partikkel hvor k_B er Boltzmanns konstant. Det er vanlig å si at bidraget (1/2)k_BT til den indre energien som skyldes bevegelse i en bestemt retning, tilsvarer bidraget fra en frihetsgrad.

Et molekyl har flere frihetsgrader enn de tre som skyldes fri translasjon i tre retninger. Molekylet kan også rotere og vibrere. Disse bidragene kan regnes ut, men da med statistisk mekanikk hvor kvantemekanikk vil måtte brukes. Hver frihetsgrad kan da vises å bidra (1/2)k_BT til den indre energien. Dette resultatet kalles ofte for "ekvipartisjonsprinsippet".

For et 2-atomig molekyl er det bare to frihetsgrader som skyldes rotasjon. Disse oppstår ved at molekylet kan rotere rundt to akser, begge vinkelrett til aksen som forbinder de to atomene. Rotasjon om denne aksen er neglisjerbart da atomene er så små at treghetsmomentet om aksen kan sees bort fra. Dermed vil den molare varmekapasiteten for slike molekyl bli c_V = (3/2 + 2/2)R = (5/2)R. Først ved veldig høye temperaturer kommer de to frihetsgradene som skyldes vibrasjon, inn. Da blir varmekapasiteten c_V = (7/2)R.

For luft forventes nå en spesifikk varmekapasitet c_V = (5/2)R_s = 720 J/kg K. Da c_P - c_V = R_s gir dette c_P = 1,00 kJ/kg K som stemmer godt med målinger ved rom-temperatur.

Litteratur

• Francis W. Sears: Thermodynamics. Addison-Wesley Publishing Company (1959).
• Ali Ghaderi: Gåten om spesifikk varmekapasitet, Symmetri, 3,1/2, 12-16, 1996.