Normalvektor

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

En normal er i geometri en rett linje, et linjestykke eller en vektor som danner en rett vinkel med en annen linje, kurve eller flate.[1] Ordet normal kan også brukes som adjektiv, som i «en linje normal til planet».

For å presisere at ordet referer til en vektor brukes ofte kombinasjonen normalvektor. En enhetsnormal er en normalvektor med lengde 1.

Klassisk plangeometri[rediger | rediger kilde]

Normalene skjærer hverandre i ortosenteret

I euklidsk geometri i planet brukes ordet normal om en rett linje eller linjestykke som står vinkelrett på en annen linje, det vil si danner en vinkel på 90° med den andre linja. Standard metoder eksisterer for konstruksjon av normaler ved hjelp av passer og linjal.[2]

Til et linjestykke er det definert en midtnormal, det vil si en normal til linjestykket som går gjennom midtpunktet til linjestykket. Midtnormalen til linjestykket AB er det geometriske sted for et punkt som ligger like langt fra A og B. Midtnormalen til en korde vil gå gjennom sentrum i sirkelen.

To vinkler som har parvis normale vinkelbein er like.

I en trekant kan en definere en normal fra hvert hjørnepunkt og ned på den motstående siden. De tre normalene møter hverandre i et felles punkt kalt ortosenteret. Høyden i en trekant er avstanden fra en grunnlinje til det motstående hjørnet, det vil si lengden av normalen fra hjørnet og ned på grunnlinjen. Midtnormalene til sidene i en trekant skjærer hverandre i omsenteret til trekanten, som er senteret til den omskrevne sirkelen til trekanten.

Normalen til en kurve[rediger | rediger kilde]

En kurve med tangent, prinsipalnormal og binormal, samt oskulasjonsplan.

En normal til en kurve i et punkt P er en linje eller en vektor som står normalt på tangenten i P.[3]

For en plan kurve definert ved er normalen i punktet gitt ved den rette linjen

forutsatt at den deriverte i nevneren er ulik null.

For en kurve i rommet R3 kan en definere flere alternative normaler. For en kurve definert ved parametriseringen

kan en normalvektor v i et vilkårlig punkt defineres ved den dobbeltderiverte

Den tilsvarende enhetsnormalen n kalles prinsipalnormalen og kan finnes ved å normalisere vektoren v.

For en romkurve vil de tre vektorene tangenten, prinsipalnormalen og binormalen stå gjensidig normalt på hverandre, og relasjoner mellom disse tre vektorene er gitt ved Frenet-Serrets formler.[4] Binormalen er en normal til det såkalte oskulasjonsplanet, som en kan betrakte som et plan gjennom tre påfølgende punkt på kurven. Både tangenten og prinsipalnormalen ligger i oskulasjonsplanet.

Normalen til en flate[rediger | rediger kilde]

En krum flate med tangentplan og normalvektor.

Normalen til en flate i et punkt P er en linje eller vektor som står normalt på alle tangentplanet til flaten i P.[4] Tangentplanet inneholder alle tangentene til flaten i punktet P.

For en flate i rommet R3 definert ved parametriseringen

er en normalvektor n i et vilkårlig punkt definert ved kryssproduktet av de partiellderiverte

For en flate definert ved ligningen er en normal i punktet definert ved gradienten:

Etymologi[rediger | rediger kilde]

Det latinske ordet «norma» betegnet en vinkelhake, brukt av håndtverkere for å lage rette vinkler.[5]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6. 
  2. ^ Byrge Birkeland, Trygve Breiteig, Hans Erik Borgersen (2009). MA-132 Geometri. Kompendium (PDF). Kristiansand: Universitetet i Agder. 
  3. ^ George B. Thomas, Ross. L. Finney (1979). Calculus and analytical geometry. Reading, USA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-07523-7. 
  4. ^ a b D.J. Struik (1961). Lectures on classical differential geometry. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8. 
  5. ^ Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9.