Nøytral geometri

Nøytral geometri er en geometri som baserer seg på 5 udefinerte begreper, punkt, linje, distanse, halv-plan og vinkelmål sammen med de følgende aksiomer:

1. Postulatet eksistens, samlingen av alle punkter er en ikke tom mengde. Det er mer enn et punkt i denne mengden,
2. Postulatet insidens, hver linje er en mengde av punkter. For hvert par med distinkte punkter A og B er det eksakt en linje l slik at A og b ligger på l.
3. Postulatet linjal, for hvert par med distinkte punkter P og Q eksisterer det et tall PQ, kalt distansen fra P til Q. For linjen l som går igjennom P og Q vil PQ = | P - Q |.
4. Postulatet separasjon, for hver linje l, vil punktene som ikke ligger på l lage 2 ulike, ikke tomme mengder H₁ og H₂, kalt halv-planene bundet av l, slik at settene H₁ og H₂ er konvekse, og at hvis punktet P ligger i H₁ og punktet Q ligger i H₂, så vil linjestykket PQ krysse l.
5. Postulatet gradeskive, for hver vinkel <BAC er det et reelt tall μ(<BAC), kalt målet av <BAC, slik at 0^o ≤ μ(<BAC)< 180^o for alle vinkler <BAC, μ(<BAC) = 0^o hvis og bare hvis strålene AB = AC, for reelt tall r, 0 < r < 180, finnes det en vinkel, <BAE, slik at μ(<BAC) = r^o, og hvis strålen AD is mellom strålene AB og AC vil μ(<BAD) = μ(<DAC) + μ(<BAC).
6. Postulatet side-vinkel-side, Hvis ΔABC og ΔDEF er to trekanter slik at linjestykkene AB og DE, BC og EF, og vinkelmålene μ(<ABC) og μ(<DEF) er kongruente er ΔABC kongruent med ΔDEF.

Nøytral geometri er «nøytral» i den forstand at den ikke tar noen standpunkt til parallellpostulatet, i motsetning til euklidsk geometri og hyperbolsk geometri.