Kvadrat-kubelov

Kvadrat-kubeloven ble først nevnt i Two New Sciences (1638).

Kvadrat-kubikkloven (eller kubikk-kvadratloven) er et matematisk prinsipp som anvendes i ulike vitenskapelige felt og beskriver forholdet mellom volumet og overflatearealet når størrelsen på en form øker eller minker. Det ble først beskrevet i 1638 av Galileo Galilei i hans verk «Two New Sciences», hvor han skrev: "...forholdet mellom to volumer er større enn forholdet mellom deres overflater".

Dette prinsippet fastslår at når en form vokser i størrelse, øker volumet raskere enn overflatearealet. Når dette prinsippet anvendes i den virkelige verden, har det mange implikasjoner som er viktige innenfor felter som spenner fra maskinteknikk til biomekanikk. Det bidrar til å forklare fenomener som hvorfor store pattedyr som elefanter har vanskeligere for å kjøle seg ned enn små som mus, og hvorfor det blir stadig vanskeligere å bygge høyere og høyere skyskrapere.

Beskrivelse

Grafer over overflateareal, A mot volum, V av de platoniske faste stoffene og en kule, som viser at forholdet mellom overflateareal og volum avtar med økende volum.



De stiplede pilene viser at når volumet øker 8 (2³) times, øker overflatearealet 4 (2²) times.

Dette bildet tydeliggjør forholdet mellom et polyeders sidelengde, dets overflateareal og dets volum.

When an object undergoes a proportional increase in size, its new surface area is proportional to the square of the multiplier and its new volume is proportional to the cube of the multiplier.

Representert matematisk:

$$A_{2}=A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2}$$

hvor $V_{1}$ er det opprinnelige volumet, $V_{2}$ er det nye bindet, $\ell _{1}$ er den opprinnelige lengden og $\ell _{2}$ er den nye lengden.

For eksempel har en kube med en sidelengde på 1 meter et overflateareal på 6 m ² og et volum på 1 m ³ . Hvis sidene av kuben ble multiplisert med 2, ville overflatearealet multiplisert med kvadratet av 2 og blitt 24 m ² . Volumet vil multipliseres med kuben av 2 og bli 8 m ³ .

Den originale kuben (1 m sider) har et forhold mellom overflateareal og volum på 6:1. Den større (2 m sider) kuben har et forhold mellom overflateareal og volum på (24/8) 3:1. Når dimensjonene øker, vil volumet fortsette å vokse raskere enn overflaten. Dermed kvadrat-kubeloven. Dette prinsippet gjelder for alle faste stoffer.

Når en fysisk gjenstand opprettholder samme tetthet og skaleres opp, økes volumet og massen med kuben til multiplikatoren mens overflatearealet bare øker med kvadratet til samme multiplikator. Dette vil bety at når den større versjonen av objektet akselereres med samme hastighet som originalen, vil det bli utøvet mer trykk på overflaten av det større objektet.

Tenk nå på at objektet er overdrevet med en multiplikatorfaktor $x$ slik at den får en ny masse $m'=x^{3}m$, og et nytt overflateareal $A'=x^{2}A$ .

$${\begin{aligned}P'&={\frac {F'}{A'}}\\&={\frac {x^{3}ma}{x^{2}A}}\\&=x\ {\frac {ma}{A}}\\&=x\ P\\\end{aligned}}$$

Dermed vil bare å skalere opp størrelsen på et objekt, beholde det samme konstruksjonsmaterialet (tetthet) og samme akselerasjon, øke trykket med samme skaleringsfaktor. Dette ville indikere at objektet ville ha mindre evne til å motstå stress og ville være mer utsatt for å kollapse mens den akselererer.

Tekniske eksempler

• Dampmaskin : James Watt, som jobbet som instrumentprodusent for University of Glasgow, fikk en skalamodell Newcomen dampmaskin for å sette i stand. Watt anerkjente problemet som relatert til kvadrat-kubeloven, ved at overflate-til-volum-forholdet til modellens sylinder var større enn for de mye større kommersielle motorene, noe som førte til for stort varmetap. Eksperimenter med denne modellen førte til Watts berømte forbedringer av dampmaskinen.

En Boeing 737-500 foran en Airbus A380

• Airbus A380 : løfte- og kontrollflatene (vinger, ror og heiser) er relativt store sammenlignet med flykroppen. For eksempel, å ta en Boeing 737 og bare forstørre dens dimensjoner til størrelsen på en A380 vil resultere i vinger som er for små for flyets vekt, på grunn av kvadrat-kube-regelen.
• Expander syklus rakettmotorer lider av kvadrat-kubeloven. Deres størrelse, og derfor skyvekraft, er begrenset av varmeoverføringseffektiviteten på grunn av at overflatearealet til dysen øker langsommere enn volumet av drivstoff som strømmer gjennom dysen.
• En klipper trenger relativt mer seiloverflate enn en slup for å nå samme hastighet, noe som betyr at det er et høyere seil-overflate-til-seil-overflate-forhold mellom disse fartøyene enn det er et vekt-til-vekt-forhold.
• Aerostater drar generelt nytte av kvadrat-kubeloven. Som radius ($r^{1}$) av en ballong øker, øker kostnaden i overflateareal kvadratisk ($r^{2}$), men løftet generert fra volumet øker kubisk ($r^{3}$) .
• Konstruksjonsteknikk : Materialer som fungerer i små skalaer fungerer kanskje ikke i større skalaer. For eksempel skalerer trykkspenningen i bunnen av en liten frittstående søyle med samme hastighet som søylens størrelse. Derfor eksisterer det en størrelse for et gitt materiale og tetthet der en søyle vil kollapse på seg selv.

Hvis et dyr ble isometrisk oppskalert med en betydelig mengde, ville dets relative muskelstyrke bli kraftig redusert, siden tverrsnittet av musklene ville øke med kvadratet av skaleringsfaktoren mens massen ville øke med terningen av skaleringsfaktoren . Som et resultat av dette vil kardiovaskulære og respiratoriske funksjoner bli alvorlig belastet.

Som uttalt av JBS Haldane, ser ikke store dyr ut som små dyr: en elefant kan ikke forveksles med en mus som er oppskalert i størrelse. Dette skyldes allometrisk skalering : beinene til en elefant er nødvendigvis proporsjonalt mye større enn beinene til en mus fordi de må bære forholdsmessig høyere vekt. Haldane illustrerer dette i sitt banebrytende essay fra 1928 On Being the Right Size ved å referere til allegoriske giganter: "...betrakt en mann 60 fot høy...Giant Pope and Giant Pagan in the illustrated Pilgrim's Progress: ...These monsters.. .veide 1000 ganger så mye som [et normalt menneske]. Hver kvadratcentimeter av et gigantisk bein måtte støtte 10 ganger vekten som bæres av en kvadratcentimeter menneskebein. Ettersom det gjennomsnittlige menneskelige lårbenet brytes under omtrent 10 ganger det menneskelige beinet. vekt, ville Pope og Pagan ha brukket lårene hver gang de tok et skritt." Følgelig viser de fleste dyr allometrisk skalering med økt størrelse, både blant arter og innenfor en art. De gigantiske skapningene som sees i monsterfilmer (f.eks. Godzilla, King Kong og Them! og andre kaiju ) er også urealistiske, gitt at deres størrelse ville tvinge dem til å kollapse.

Vannets oppdrift motvirker imidlertid til en viss grad effekten av tyngdekraften. Derfor kan akvatiske dyr vokse til veldig store størrelser uten de samme muskel- og skjelettstrukturene som ville være nødvendig for landdyr av samme størrelse, og det er den primære grunnen til at de største dyrene som noen gang har eksistert på jorden er akvatiske dyr .

Metabolismen til dyr skalerer med et matematisk prinsipp kalt kvartkraftskalering i henhold til den metabolske teorien om økologi .

Masse og varmeoverføring

Masseoverføring, som diffusjon til mindre gjenstander som levende celler, er raskere enn diffusjon til større gjenstander som hele dyr. I kjemiske prosesser som foregår på en overflate – i stedet for i bulken – er således finere oppdelt materiale mer aktivt. For eksempel er aktiviteten til en heterogen katalysator høyere når den deles inn i finere partikler. Slike katalysatorer forekommer typisk under varmere forhold.

Varmeproduksjon fra en kjemisk prosess skalerer med kuben til den lineære dimensjonen (høyde, bredde) til karet, men karets overflate skaleres med bare kvadratet av den lineære dimensjonen. Følgelig er større kar mye vanskeligere å avkjøle. Dessuten er storskala rør for overføring av varme væsker vanskelig å simulere i liten skala, fordi varme overføres raskere ut fra mindre rør. Unnlatelse av å ta hensyn til dette i prosessdesign kan føre til katastrofal termisk løping .

Se også

• Biomekanikk
• Allometrisk lov
• On Being the Right Size, et essay av JBS Haldane som tar for seg endringene i formen til dyr som ville være nødvendig ved en stor endring i størrelse. Se også ovenfor for eksempel på allegoriske kjemper når du skalerer størrelse.
• Overflate-til-volum-forhold
• Kleibers lov
• Bergmanns regel