Gnomonikk

Illustrasjon av virkemåten til et solur der Solens gang over himmelhvelvingen avbildes på et plan ved en gnomonisk projeksjon. Timelinjene er rette linjer, mens datolinjene er krumme med farger.

Gnomonikk er læren om virkemåten til solur og danner dermed grunnlaget for deres konstruksjon. Navnet kommer fra gnomon som er den sentrale delen i alle solur. Den skaper en skygge på en nærliggende flate som dermed virker som en urskive når Solen beveger seg over himmelhvelvingen. Retningen til skyggen er bestemt av dens timevinkel slik at den angir tiden på dagen.

Lengden av skyggen er avhengig av Solens høyde over horisonten og derfor av årstiden. I løpet av et døgn vil gnomonens spiss (nodus) tegne en kurve på urskiven som vil være litt forskjellig fra dag til dag. Slike kurver som generelt er kjeglesnitt, kalles datolinjer da deres plassering på urskiven prinsipielt kan benyttes til fastsette dato. Hver av disse kurvene er en avbildning av Solens gang langs en sirkel på himmelhvelvingen i løpet av en dag ved en sentralprojeksjon med sentrum i gnomonens spiss. Her kan den betraktes som sentrum i en himmelsk sfære slik at datolinjen kan sies å være en gnomonisk projeksjon av Solens bane. Tilsvarende avbildninger benyttes innen kartografi.

Det første grunnlaget for gnomonikken ble lagt av den greske filosof Anaximander mer enn fem hundre år før vår tidsregning. På den tiden besto solurene vanligvis bare av en loddrett stav eller obelisk som kastet en skygge på bakken. Nøyaktig fastsettelse av tiden ble stadig viktigere i århundrene som fulgte. Det førte til konstruksjon av mer presise solur basert på en stadig videreutvikling av gnomonikken etter som Solens bevegelse ble bedre forstått.

Ekvatoriale solur

Skyggen i et ekvatorialt solur roterer hver time med 15° som derfor er avstanden mellom timelinjene.

En gnomon med form som en stav eller stang og retning som er parallel med Jordens rotasjonsakse, danner grunnlaget for de enkleste solur. Den må være rettet mot nord og ha en helning mot bakken som er lik med stedets geografiske breddegrad φ. Gnomonen sies da å være polrettet. På Nordpolen vil den stå vertikalt og peker mot den nordlige himmelpolen.

Skyggen som en slik gnomon kaster på en flate i nærheten, vil nå kunne utgjøre viseren i et solur. I det enkleste tilfelle er dette et plan som står vinkelrett på gnomonen. Det er da parallelt med himmelekvator slik at skyggen på planet vil rotere med samme hastighet som den tilsynelatende bevegelsen til Solen har rundt Jorden. Den tilsvarer 360° i løpet av 24 timer som betyr 15° per time hvis man ser bort fra den lille tidsjevningen. Dette er derfor omdreiningshastigheten til viseren på et slikt ekvatorialt solur. Timelinjene er rette linjer med 15° gjensidig avstand.

Solens høyde over himmelekvator er gitt ved dens deklinasjon δ. Denne varierer fra +23.5° ved sommersolhverv til -23.5° ved vintersolhverv. Den er null ved jevndøgnene.

Når den polrettete gnomonen har lengde b, vil lengden av skyggen

$s=b\cot \delta$

være tilnærmet konstant hvert døgn, men langsomt forandre seg fra dag til dag. Den blir veldig stor og lite anvendelig i nærheten av jevndøgnene. I sommerhalvåret med δ > 0 benyttes den ene siden av den ekvatoriale urskiven, mens undersiden må benyttes i vinterhalvåret når δ < 0. Skyggen dannes kun når Solen er over horisonten slik at tidsrommet den fungerer som viser, er avhengig av stedets bredde φ. På steder så langt nord at man har midnattsol, kan soluret benyttes døgnet rundt.

Horisontale solur

Horisontalt solur med polrettet gnomon på torget i Amtzell i Tyskland.

Skyggen fra en polrettet gnomon kan også dannes på en vannrett urskive. Man har dermed et horisontalt solur. Man kan da tenke seg den ekvatoriale urskiven projisert ned på dette horisontale planet. De radielle timelinjene vil dermed igjen opptre som rette linjer, men ha variabel, gjensidig avstand i det horisontale soluret.

Da lengden og retningen til skyggen er bestemt av Solens posisjon, er de mest naturlig forklart ved å angi denne ved horisontalkoordinater på himmelhvelvingen, De er astronomisk asimut A og høyde h som begge varierer med timevinkelen H. For beskrivelse av solur er det mest praktisk å måle asimut fra den lokale meridianen slik at Solen har A = 0° midt på dagen når den kulminerer i syd. Av samme grunn måles også timevinkelen fra dette tidspunkt. Det betyr for eksempel at H = 15° tilsvarer kl.13 om ettermiddagen, mens H = - 30° betyr kl.10 om formiddagen.

For et solur på geografisk bredde φ er disse horisontale koordinatene for Solen gitt ved

$\sin h=\sin \phi \cdot \sin \delta +\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H$

$\sin A\cdot \cos h=\cos \delta \cdot \sin H$

$\cot A\cdot \sin H=\sin \phi \cdot \cos H-\cos \phi \cdot \tan \delta$

når den har timevinkel H og deklinasjon δ. Midt på dagen når H = 0°, følger derfor solhøyden fra sinh₀ = cos(φ - δ) som betyr at h₀ = 90° - φ + δ. Tilsvarende resultat kan finnes ved midnatt H = 180° og gir h₁₈₀ = φ + δ - 90°. Om sommeren vil denne solhøyden være positiv nord for Polarsirkelen og betyr midnattsol.

Timelinjer

Ved et bestemt tidspunkt gitt ved tiimevinkelen H vil skyggen av den polrettete gnomonen være en en rett linje som forbinder dens feste i den horisontale urskiven og skyggen av gnomonens spiss eller nodus. Avstanden til dette punktet P fra den vertikale projeksjonen O av nodus ville være lengden r av skyggen til en loddrett plassert gnomon i punktet O. Når solhøyden er h, er denne lengden

$r=a\cot h$

der a er høyden til nodus over den horisontale urskiven. Hvis den polrettete gnomonen har lengde b, er da a = b sinφ.

Eksempel på et horisontalt solur hvor skyggen dannes av øvre kant til en triangelformet gnomon.

For å beregne posisjonen til skyggens endepunkt P på urskiven, kan man benytte et kartesisk koordinatsystem med origo i O med y-akse rett nordover og x-akse mot øst. Da har dette punktet koordinater x = r sinA  og y = r cosA. Her kan sinA  og cosA  uttrykkes ved timevinkelen H fra ved de to ligningene i koordinattransformasjonen. Det gir

$x=a{\cos \delta \over \sin h}\sin H,\;\;\;y=a{\cos \delta \over \sin h}{\big (}\sin \phi \cdot \cos H-\cos \phi \cdot \tan \delta {\big )}$

Når timevinkelen H har en viss verdi, er skyggen en rett linje som forbinder dette punktet P = (x,y) med det faste punktet (0, -a cotφ) på urskiven. Ligningen for denne timelinjen kommer frem ved å skrive uttrykket for y som

$y={x \over \sin \phi \cdot \tan H}-{a \over \tan \phi }$

Linjen danner derfor en vinkel θ med y-aksen hvor

$\tan \theta =\sin \phi \cdot \tan H$

Vinkelen er null midt på dagen, og skyggen peker rett nordover som skyldes at Solen da står i syd. Etter som tiden går og H øker, vil θ  vokse og skyggeviseren dreier seg med klokken. Dette viktige uttrykket for horisontale solur kan utledes på flere andre måter.

Deklinasjonslinjer

Time- og datolinjer tegnet inn på en vertikal urskive.

I løpet av en dag beveger skyggen seg over urskiven fra soloppgang der h = 0, til Solen går ned om kvelden når h = 0 igjen. Skyggen av nodus P = (x,y) beskriver dermed en kurve på den horisontale urskiven. Dens plassering og form er avhengig av deklinasjonen δ og vil derfor langsomt forandre seg fra dag til dag. Den omtales derfor som en datolinje eller deklinasjonslinje.

Disse linjene kan bestemmes ved å eliminere timevinkelen H fra uttrykkene for koordinatene til P. Fra y  finnes cosH som innsatt i uttrykket for x  gir sinH. Ved å benytte at sin²H + cos²H = 1, finnes dermed en sammenheng mellom x og y som er ligningen for kurven. Den kan skrives som

$x^{2}\sin ^{2}\!\delta +y^{2}(\sin ^{2}\!\delta -\cos ^{2}\!\phi )+2ay\sin \phi \cdot \cos \phi =a^{2}(\sin ^{2}\!\phi -\sin ^{2}\!\delta )$

og fremstiller i allminnelighet et kjeglesnitt med hovedakser parallelle med koordinataksene og symmetrisk om y-aksen. Dets eksakte form er hovedsakelig bestemt av koeffisienten til y²-leddet. Den er positiv når φ > 90° - δ slik at deklinasjonslinjen er del av en ellipse. Soluret må da være plassert nord for Polarsirkelen. I det spesielle tilfellet at φ = 90° - δ blir denne spesielle datolinjen del av en parabel.

For steder lenger syd er koeffisienten alltid negativ, og deklinasjonslinjene er deler av hyperbler. Men ved begge jevndøgnene der δ = 0°, går disse over til den rette linjen y = a tanφ parallell med x-aksen. Solen befinner seg da i et plan som står vinkelrett på den polrettete gnomonen. Skyggen av nodus fremstiller en rett linje som beskriver Solens gang disse to spesielle dagene.

Datolinjer som kjeglesnitt

Simulasjon av hvordan deklinasjonslinjene ved jevndøgnene og de to solhvervene forandrer seg med breddegraden.

Solens gang rundt polaksen gjør at lysstråler gjennom gnomonens spiss beskriver en kjegle med toppunkt i dette punktet. Da den har en høyde over himmelekvator som er lik med deklinasjonen δ, vil åpningsvinkelen til kjeglen være 2α der vinkelen α = 90° - δ. Hvis dens toppunkt plasseres i origo og den har sin akse langs enhetsvektoren n, er den beskrevet ved ligningen

$(\mathbf {x} \cdot \mathbf {n} )^{2}=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )\sin ^{2}\!\delta$

hvor den kartesiske vektoren x har komponenter (x,y,z). Som tidligere ligger y-aksen i horisontalplanet med retning mot nord, mens z-aksen står vinkelrett på dette planet.

I dette koordinatsystemet har retningsvektoren n som peker langs langs polaksen, komponentene n = (0, cosφ,sinφ). Ligningen for kjeglen tar dermed formen

$(y\cos \phi +z\sin \phi )^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\sin ^{2}\!\delta$

Datolinjene fremkommer nå som skjæringslinjene mellom kjeglen og flaten som dannes av urskiven. Når denne er et horisontalt plan i avstand a under nodus, er den gitt ved z = - a. Det gir samme ligning for deklinasjonslinjene som den tidligere metoden. Fordelen med denne mer generelle fremgangsmåten er at den gir disse linjene på en plan urskive med en hvilken som helst orientering. Da polrettete gnomoner ofte monteres på husvegger som også utgjør urskiven, kan den anvendes i slike praktiske tilfeller.

Ved de to jevndøgnene degenerer kjeglen til et plan. Datolinjen blir da skjæringslinjen mellom to plan og vil derfor være en rett linje uansett orientering til urskiven.

Analemmatiske solur

Horisontale solur med loddrett gnomon har den ulempen at vinkelen som skyggen danner med y-aksen, varierer med årstiden. Man kan unngå dette problemet ved å flytte gnomonen langs denne aksen på en kompenserende måte med årstiden, det vil si med deklinasjonen.

Ved jevndøgnene er δ = 0° slik at spissen til en loddrett gnomon i origo har koordinater x = a tanH/cosφ og y = a tanφ. Skyggen danner derfor en rett linje fra origo beskrevet ved ligninen

$y=x\sin \phi \cdot \cot H$

Analemmatisk solur i Hasselt i Belgia med markeringer for den bevegelige gnomonen.

Flyttes nå gnomonen en avstand d = d(δ) langs y-aksen, vil skyggen danne en vinkel med denne retningen som er lik Solens asimut A. Derfor faller skyggen langs linjen y = x cotA + d. Ved å benytte ligningen for cotA uttrykt ved timevinkel H og deklinasjon δ, vil disse to skyggelinjene skjære hverandre i et punkt når

$d=x{\tan \delta \over \sin H}\cos \phi$

Dette kan nå gjøres uavhengig av årstiden ved å la den ukjente avstanden d variere som

$d=m\tan \delta \cdot \cos \phi$

hvor lengden m er vilkårlig stor. Dermed blir x = m sinH og y = m sinφ⋅cosH. Skjæringspunktet (x,y) ligger derfor på ellipsen

$x^{2}+{y^{2} \over \sin ^{2}\!\phi }=m^{2}$

med en hovedakse med lengde m langs x-aksen og den andre med størrelse m sinφ langs y-aksen i nordlig retning. Den kan betraktes som en vertikal projeksjon av en sirkulær deklinasjonslinje i et fiktivt, ekvatorialt oppstilt solur. Navnet analemmatisk kan komme av at forskyvningen d(δ) har en variasjon med årstiden som ligner den i et analemma.

Solur av denne typen finnes ofte i parker eller på offentlige plasser. Da er det vanlig å bruke en oppreist person som gnomon. Langs nord-syd retningen i ellipsen finnes det da markeringer som angir hvor hen skal stå avhengig av årstiden. For at skyggen skal nå frem til ellipsen, må ikke hovedaksen m i øst-vest retning være mye lengre enn et normalt menneske.

Eksterne lenker

• Anne Bruvold, Litt av matematikken bak solur, Nordnorsk Vitensenter, Tromsø (2005).
• PowerFromTheSun, The Sun's Position, astronomiske betraktninger relevant for solur.
• Plus Magazine, Analemmatic sundials: How to build one and why they work, June (2000).