Kommutativ lov

Kommutativitet i addisjon: 3 + 2 = 2 + 3.

En kommutative lov i matematikk er et teorem eller et aksiom som sier at en binær operasjon er kommutativ. En kommutativ operasjon tillater at rekkefølgen på de to argumentene kan endres uten å endre resultatet. Addisjon av reelle tall er for eksempel kommutativ, slik at 2 + 3 = 3 + 2. Divisjon er derimot ikke kommutativ, fordi a/b generelt ikke er lik b/a. Utsagnet «faktorenes orden er likegyldig» er et uttrykk for at multiplikasjon av reelle tall er kommutativ og assosiativ (begge egenskapene trengs for at faktorenes rekkefølge ikke skal spille noen rolle).

En algebraisk struktur som inneholder en kommutativ operasjon blir ofte omtalt som en kommutativ struktur. En abelsk gruppe er for eksempel en kommutativ gruppe.

Kommutativitet er en fundamental egenskap til mange operasjoner, og egenskapen blir ofte postulert i aksiomer som definerer operasjonen. Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon og multiplikasjon. Dersom en operasjon ikke kommuterer, så er den ikke-kommutativ. Også en matematisk struktur kan være ikke-kommutativ.

Formell definisjon

En binær operasjon $*$ på en mengde S er kommutativ dersom

$x*y=y*x\qquad {\mbox{for alle }}x,y\in S.$

Dette kan også uttrykkes som at x og y kommuterer i operasjonen.

Dersom en binære operasjonen uttrykkes som en funksjon f(x,y), så vil operasjonen være kommutativ hvis og bare hvis funksjonen er symmetrisk slik at f(x,y) = f(y,x). Operasjonen multiplikasjon kan for eksempel skrives som funksjonen f(x,y) = xy.

En ikke-kommutativ operasjon kan være anti-kommutativ, det vil si at f(x,y) = - f(y,x). Dette krever at resultatet av operasjonen er definert i en mengde der det eksisterer en invers, ofte gitt ved et negativt element.

Eksempler

Fra hverdagslivet

• Å ta på seg strømper kan betraktes som en kommutativ operasjon: uansett om en starter med venstre eller høyre fot, så blir resultatet det samme.

• Dusjing og tørking er utført sammen, «addert», er ikke en kommutativ operasjon. Rekkefølgen av de to leddene er avgjørende for sluttresultatet.

Aritmetikk

• Addisjon og multiplikasjon av reelle og komplekse tall kommuterer.

• Divisjon og subtraksjon er ikke kommutative operasjoner.

Matematikk generelt

• Operasjonen å ta unionen av to mengder er kommutativ. Det samme gjelder for snittet:

$A\cap B=B\cap A\qquad \qquad A\cup B=B\cup A$

• Multiplikasjon av to matriser er ikke kommutativ. Dette er vist ved det følgende eksempelet:

${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}$

• Operasjonen å sette to reelle funksjoner sammen er ikke kommutativ. Generelt vil

$f(g(x))\neq g(f(x)).\,$

Kommutativitet i matematiske strukturer

• En abelsk gruppe eller kommutativ gruppe er en gruppe der gruppeoperasjonen kommuterer.

• En kommutativ ring er en ring der multiplikasjonen kommuterer. En ring har også definert addisjon, og denne vil alltid være kommutativ.

• I en kropp er både addisjon og multiplikasjon kommutative.

• Både vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon i et vektorrom er kommutative.

• Mengden av kvaternioner er en ikke-kommutativ utvidelse av de komplekse tallene.

• Produktet i en Grassmann-algebra er anti-kommutativt. En slik algebra benyttes for en mulig supersymmetri i elementærpartikkelfysikk.

Se også

• Assosiativ lov
• Distributiv lov

Litteratur

• E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6. 

• Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.