Union (mengdelære)

Venndiagram med unionen mellom A og B

En union eller en foreningsmengde av to mengder A og B er i mengdelære mengden av alle elementer som ligger i minst en av A og B. Unionen skrives som A ∪ B.

Egenskaper til operasjoner på mengder, inkludert union, studeres i mengdealgebra.

Formell definisjon

Unionen av to mengder $A$ og $B$ er definert ved

$A\cup B=\lbrace x|x\in A{\text{ eller }}x\in B\rbrace$.

I et Venn-diagram er unionene lik summen av arealet til hver av de to mengdene.

Symbolet $\cup$ for union ble introdusert av Giuseppe Peano i 1888, da han var redd for at tidligere bruk av plusstegn kunne skape forvirring.

Definisjonen kan generaliseres til et vilkårlig antall mengder:

$\cup _{a\in A}E_{a}=\lbrace x|x\in E_{a}{\text{ for alle }}a\in A\rbrace$

Her er $A$ en indeksmengde. Uttrykket endelig union brukes når indeksmengden er en endelig mengde, og dette betyr ikke at unionen er en endelig mengde.

Eksempler

• {a, b, c, d} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e}
• {x | x er et partall} ∪ {x | x er et oddetall} = {x | x er et heltall}
• {x | x er et menneske} ∪ {x | x er norsk statsborger} = {x | x er et menneske}

En mengde kan generelt ikke ha dupliserte element, og som vist i det første eksempelet, listes felles element c og d bare en gang i unionen. I det siste eksempelet er alle elementene i den andre mengden inneholdt i den første.

Algebraiske egenskaper

La $A$, $B$ og $C$ være vilkårlige mengder. Da gjelder en rekke algebraiske egenskaper for union-operasjoner.

Unionen mellom mengder er en assosiativ operasjon, det vil si at parenteser kan plasseres fritt:

$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C=A\cup B\cap C.$

En union er også kommutativ:

$A\cup B=B\cup A$.

Unionen er idempotent, slik at

$A\cup A=A$.

En union med den tomme mengden har ingen effekt:

$A\cap \varnothing =A$.

De to operasjonene snitt og union oppfyller distributive lover:

${\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}$

Dersom $A$og $B$ er delmengder i en grunnmengde $M$, så kan en definere komplementet $A^{c}$ som alle elementer i $M$ som ikke er med i $A$. Da gjelder

${\begin{aligned}(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}\\(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}\end{aligned}}$

Her er $A\cap B$ snittet mellom de to mengdene. Beviset for disse to satsene bygger på De Morgans lover.