Alef-tall

Aleph-null, det minste uendelige kardinaltallet

Alef-tall er i mengdelære, et område i matematikk, en følge av tall som brukes for å representere kardinaliteten (størrelsen) til en uendelig mengde. De er oppkalt etter det hebraiske symbolet, alef ($\aleph$) som er brukt for å representere dem.

Kardinaliteten til de naturlige tallene er $\aleph _{0}$ (alef-null). Det neste kardinaltallet større enn $\aleph _{0}$ er $\aleph _{1}$, påstanden at kardinaliteten til de reelle tallene er lik $\aleph _{1}$ er kjent som kontinuumhypotesen og er uavhengig av ZFC (Zermelo–Fraenkel mengdelære og utvalgsaksiomet). Det finnes kardinaltall $\aleph _{\alpha }$ og $\aleph _{\beta }$ for et hvert ordinaltall $\alpha$ og $\beta$ slik at $\aleph _{\alpha }$ < $\aleph _{\beta }$ hvis $\alpha$ < $\beta$.

Kardinaltallene ble definert av Georg Cantor, som innså at forskjellige uendelige mengder kunne ha forskjellige størrelser og at det med andre ord fantes flere uendelige tall.

Alef-null

$\aleph _{0}$ (alef-null) er kardinaliteten til mengden av naturlige tall, og er det minste uendelige kardinaltallet. En mengde med kardinalitet $\aleph _{0}$ kalles tellbart uendelig fordi det finnes en bijeksjon mellom mengden og de naturlige tallene. Eksempler på slike mengder er:

• mengden av alle kvadrattall, mengden av alle kubikktall, mengden av alle tall til fjerde potens...
• mengden av alle partall, mengden av alle oddetall,
• mengden av alle primtall, mengden av alle sammensatte tall,
• mengden av alle heltall,
• mengden av alle rasjonale tall,
• mengden av alle algebraiske tall,
• mengden av alle endelige delmengder av en tellbart uendelig mengde.