Liegruppe

I matematikk er en liegruppe er en gruppe som også er en topologisk mangfoldighet, slik at gruppeoperasjonen og inversen er kontinuerlige avbildninger.

Alternativt kan man definere en liegruppe som at mangfoldighetsstrukturen og avbildningene skal være glatte. Hilberts 5. problem handler om hvorvidt disse to definisjonene er ekvivalente, og svaret er ja. Dette ble bevist av blant andre Gleason, Montgomery og Zippin på 50-tallet.

Et eksempel er de reelle tallene $\mathbb{R}$ med gruppeoperasjon $+$ og standardtopologien: Her er gruppeoperasjonen

$\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ (a,b) \mapsto a+b$

kontinuerlig, og det samme gjelder inversfunksjonen

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ a \mapsto -a$.

Et annet eksempel er den generelle lineære gruppen $GL(n,\mathbb{R})$ og alle dens lukkede delmengder.

Navnet liegruppe kommer fra den norske matematikeren Sophus Lie, som arbeidet med differensialligninger, og oppdaget at løsningene han fant hadde symmetrier. Hans arbeide med disse symmetriene la grunnen for den moderne geometrien, der liegrupper og deres operasjoner på topologiske rom spiller mange av hovedrollene.

Formell definisjon

En liegruppe består av en trippel $(G, \cdot, \tau)$ der $G$ er en mengde, $\cdot$ er en binær operasjon på mengden og $\tau$ er en topologi på mengden, slik at $(G, \cdot)$ er en gruppe, $(G, \tau)$ er en topologisk mangfoldighet, og avbildningene $\Phi \colon G \times G \to G$ og $i \colon G \to G$ gitt av $\Phi(g,h)=g \cdot h$, og $i(g)=g^{-1}$, er kontinuerlige.