Thales' teorem

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Hvordan transversalteoremet kan benyttes til å måle høyden av en pyramide, D/A = C/B.

Thales' teorem kalles flere fundamentale teorem i euklidsk geometri som ofte knyttes til den greske naturfilosof Thales fra Milet. De fleste eller alle av disse antas å ha vært kjent kanskje tusen år tidligere blant babylonske matematikere i det gamle Mesopotamia.

Det finnes ingen originale overleveringer av hans bidrag som i hovedsak er blitt kjent gjennom den omtale som Proklos skrev nesten tusen år senere. Sannsynligvis knyttes Thales til disse teoremene fordi han ga bevis for deres riktighet. Denne logiske stringens skiller gresk vitenskap i stor grad fra babylonsk eller tidligere egyptisk vitenskap. Teoremene og deres bevis er også gjengitt i Euklids store verk Elementene.

De fleste teoremene til Thales uttrykker egenskaper ved likebeinte eller formlike trekanter. I dag virker de i stor grad selvinnlysende. Men de danner grunnlaget for euklidsk geometri og gir opphav til en stor mengde konsekvenser som ikke lenger er så opplagte. De to viktigste er transversalteoremet og halvsirkelteoremet. Det første relaterer forhold mellom linjestykker som oppstår når to linjer blir kuttet av to eller flere parallelle linjer. Proklos forteller at Thales benyttet dette til å måle høyden av Kheopspyramiden på en reise i Egypt.

Det andre teoremet sier at når en trekant er innskrevet i en sirkel med en side som diameter, så vil trekanten være rettvinklet. Spesielt dette teoremet har mange viktige anvendelser i geometri og trigonometri.

Transversalteoremet[rediger | rediger kilde]

To parallelle linjer (røde) skjærer to gitte linjer (sorte).

Man betrakter to rette linjer som skjærer hverandre i et punkt A. To andre, parallelle linjer i samme plan vil skjære disse i punktene B, C, D og E. Da sier teoremet at

Skjæringspunktet mellom de gitte linjene ligger mellom de parallelle linjene.

Det er en direkte konsekvens av at trekantene ABC og ADE er likeformete siden linjestykkene BC og DE er parallelle.

Teoremet kan skrives om på flere måter. For eksempel, så følger det fra samme geometriske argument at

Det er ekvivalent med den algebraiske relasjonen a/b = c/d = (a + c)/(b + d).

En ekvivalent formulering av teoremet er å si at når en gitt trekant ABC skjæres av en linje parallell med en av sidene i trekanten, så vil de avskårne linjestykkene oppfylle disse relasjonene.

Teoremet gjelder også for det tilfellet at skjæringspunktet A ligger mellom de to parallelle linjene som vist i figuren til venstre. For tilfellet med en gitt trekant og en linje parallell med en av sidene, tilsvarer det at denne ligger utenfor trekanten og skjærer forlengelsen av de to andre sidene.

Halvsirkelteoremet[rediger | rediger kilde]

Teoremet sier at vinkelen i B er 90°.

I figuren er trekanten ABC innskrevet i en sirkel med sentrum i punktet O slik at siden AC er en diameter. Teoremet sier nå at den motstående vinkelen i hjørnet B på sirkelen vil være en rett vinkel 90°.

Likebeinte trekanter AOB og COB med vinkler α og β i trekanten ABC.

Det finnes mange bevis av dette teoremet. Man kan for eksempel benytte egenskapene til likebeinte trekanter som her finnes og vises i figuren til venstre. Trekkes radius OB i sirkelen, vil trekanten AOB være likebeint da to av sidene er radier. På samme måte vil trekanten COB være likebeint. Da summen av alle vinklene i trekanten ABC er 180°, vil

Det gir med en gang at α + β = 90° om er akkurat vinkelen i hjørnet B. Den vil derfor alltid være en rett vinkel.

Alternativt kunne man benytte at vinkelen i B er en periferivinkel. Da den spenner en halvsirkelbue på 180°, vil dens størrelse være halvparten av dette. Det gir igjen 90°.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
  • C. B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]