Periferivinkel

Periferivinkelen ψ ligger i punktet V og spenner over sirkelbuen AB.

En periferivinkel er en vinkel med toppunkt på periferien (omkretsen) til en sirkel. Dens bein kan bestå enten av to sekanter eller en sekant og en tangent. Er begge beinene tangenter, danner de en rett linje og periferivinkelen er 180°.

Størrelsen til en periferivinkel er halvparten så stort som gradtallet av den sirkelbuen som ligger mellom vinkelens bein. Dette er lett å forstå i det spesielle tilfellet at en av vinkelens bein går gjennom sirkelens sentrum som vist i figuren. Trekanten VOA er nå likesidet da sidene OV og OA er like store. Da er sentralvinkelen θ lik summen 2ψ av de to andre vinkelene i trekanten. Dermed er

$\psi ={1 \over 2}\,\theta$

hvor gradtallet til buen AB er det samme som for vinkelen θ.

Når sirkelbuen AC er 180°, vil periferivinkelen i B alltid være 90°.

En periferivinkel som spenner over en halvsirkel er derfor 90°. Og det gjelder uansett hvor på sirkelen den ligger. Dette er vist i animasjonen til høyre hvor periferivinkelen på 90° ligger i punktet B og spenner over halvsirkelen AC. Trekanten ABC er da alltid en rettvinklet trekant hvor hypotenusen er sirkelens diameter som går gjennom dens sentrum O.

Dette resultatet går under navnet Tales’ teorem. En anekdote forteller at da Tales gjorde denne oppdagelsen, ble han så begeistret at han ofret en okse til gudene.

Generelt tilfelle

En generell periferivinkel er summen eller differansen til to periferivinkler som hver har samme diameter som ett bein.

I alminnelighet vil ingen av de to beina til en periferivinkel gå gjennom sirkelens sentrum. Men likevel vil dens størrelse alltid være halvparten av sirkelbuen som de spenner over. Det kan man se ved å betrakte de tre tilfellene i figuren. Når et bein går gjennom sentrum som i figuren til venstre, er periferivinkelen i punktet M halvparten av sirkelbuen AD. Blir vinkelen større som i den midtre figuren, er perferivinkelen i punktet M summen av perferivinklene AMD og DMB. Men nå er periferivinkelen AMD halvparten av sirkelbuen AD og periferivinkelen DMB er halvparten av sirkelbuen DB da for begge disse vinklene går et bein gjennom sentrum. Den totale periferivinkelen AMB er derfor halvparten av sirkelbuen AB.

Når sirkelbuen AB er mindre enn sirkelbuen AD som i figuren til høyre, ser man på samme måte at peiferivinkelen AMB er halvparten av sirkelbuen AB. På den måten er størrelsen til en periferivinkel alltid like stor som halvparten av sirkelbuen som dens to bein spenner over. Dette er også tilfelle når et av beinene går over til å bli en tangent til sirkelen.

Potensens til et punkt

Hvis kryssningspunktet mellom to sekanter ligger innenfor eller utenfor sirkelen, vil fremdeles vinkelen mellom dem være gitt på en tilsvarende måte som halvparten av summen eller differensen av de to sirkelbuene som sekantene spenner over. Produktet av lengdene til de to delene av hver sekant som ligger mellom deres kryssningspunkt og de to skjæringspunktene med sirkelen, er det samme for hver sekant som går gjennom kryssningspunktet. Dette produktet definerer potensen til dette punktet. For en periferivinkel ligger kryssningspunktet på omkretsen og potensen for punktet er lik null.

Litteratur

• A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, vol II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).

Eksterne lenker

• Inscribed angle, Math Open Reference.