Prostaferese

Lengden av sidene og hjørnevinklene i en sfærisk trekant angis begge i grader.

Prostaferese er en metode til forenkling av multiplikasjon av to tall som var i bruk før den mer anvendelige regning med logaritmer ble tatt i bruk på første halvdel av 1600-tallet. Ved å addere og subtrahere de to tallene kombinert med bruk av en trigonometrisk tabell, kunne produktet av tallene finnes. Dette forklarer også navnet på metoden som er en sammensetning av de greske ordene prosthesis (πρόσθεσις) for addisjon og aphaeresis (ἀφαίρεσις) for subtraksjon.

Metoden har sine røtter i tidlig astronomi og navigasjon på de store havene der man kunne orientere seg i forhold til stjernehimmelen. Dette innebar beregninger basert på sfærisk geometri. For eksempel, for å regne ut en side a i en sfærisk trekant basert på de to de to motstående sidene b og c og vinkelen α mellom dem, benyttet man den tilsvarende cosinussetningen

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha$

Denne og lignende uttrykk krevde flere multiplikasjoner av trigonometriske funksjoner. Dette arbeidet kunne reduseres ved bruk av prostaferese. Opprinnelsen til denne fremgangsmåten kan føres tilbake til presten Johannes Werner (1468 - 1528) i Nürnberg og ble også omtalt som Werners metode. Den ble anvendt og utvidet av Tycho Brahe i hans astronomiske arbeid.

Fremgangsmåte

Helt fra antikken og verket Almagest av Ptolemaios kjente man mange trigonometriske sammenhenger. I middelalderen ble disse videre utviklet. Et typisk resultat er den trigonometriske identiteten

$2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )$

hvor cosβ = sin(90° - β). Samtidig ble disse trigonometriske funksjonene beregnet med stadig større presisjon. På midten av 1500-tallet publiserte Rheticus verdier av dem med syv desimalers nøyaktighet for hvert tiende minutt av en grad. Ved bruk av disse numeriske tabellene kunne for eksempel produktet av sinus til to vinkler finnes ved å slå opp cosinus til summen og differensen av vinklene. Det ønskede produktet er da halvparten av summen av disse to verdiene. Resultatet er funnet kun ved bruk av de enklere regneartene addisjon og subtraksjon.

Denne fremgangsmåten kan tas over til multiplikasjon av to vilkårlig tall. Som en illustrasjon kan man betrakte to tall som tilsvarer hele grader, for eksempel α = 38° og β = 20°. Hvis man har en trigonometrisk tabell som har en nøyaktighet som tilsvarer fem desimaler, så finner man at sinα = 0.61566 og cosβ = 0.93969. Summen og differensen av disse to vinklene er nå α + β = 58° og α - β =18°. Fra tabellen finner man så sin 58° = 0.84805 og sin 18° = 0.30902. Den halve summen av dette er 0.578 535 med en usikkerhet i den siste desimalen. Dette tilsvarer å multiplisere de hele tallene 61566 og 93969 med tilsvarende nøyaktighet.

Multiplikasjon av andre tall som ikke tilsvarer hele grader, krever interpolasjon eller en trigonometrisk tabell med verdier for hvert minutt av en grad eller enda bedre. På lignende måte kunne også divisjon av to tall utføres.

Så snart bruk av logaritmer ble innført på begynnelsen av 1600-taller ved John Napier, ble prostaferese en for tungvindt fremgangsmåte og gikk ganske snart ut av bruk.

Litteratur

• V.E. Thoren, The Lord of Uraniborg: A Biography of Tycho Brahe, Cambridge University Press, England (1990). ISBN 0-521-35158-8.

Eksterne lenker

• K. Kühn, Die Prostaphaeresis und Johannes Werner (1468 - 1528)
• O. Gingerich and R.S. Westman, The Wittich Connection: Conflict and Priority in Late Sixteenth-Century Cosmology, Transactions of the American Philosophical Society 78 (1988). Google Book.