Operasjon (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

En operasjon er i matematikk en framgangsmåte eller prosedyre som resulterer i en ny verdi, bestemt ut fra en eller flere kjente størrelser. De grunnleggende arimetiske operasjonene er addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, og kvadrering regnes også ofte med blant disse.[1] Formelt kan en operasjon defineres som en funksjon.

Operasjoner kan involvere mange typer objekter, ikke bare tall. Både vektorer og funksjoner kan adderes. To rotasjoner kan adderes ved å definere dette som to påfølgende rotasjoner. En union av to mengder er en operasjon med mye til felles med addisjon. Derivasjon av en funksjon vil også være en operasjon. De logiske verdiene sann og usann kan kombineres i logiske operasjoner.

Operasjoner kan klassifiseres etter antall kjente størrelser som inngår. Unære operasjoner har én kjent størrelse, mens binære har to. Eksponentialfunksjonen er et eksempel på en unær operasjon, mens addisjon er et eksempel på en binær.

Generell definisjon[rediger | rediger kilde]

En operasjon f er en funksjon på formen f: VY, der VX1 × … × Xk. En mengde Xk kalles for en definisjonsmengde eller domene for operasjonen, mens Y er verdiområdet eller kodomenet.

Antall argument i funksjonen f kalles for ariteten til operasjonen. Addisjon har ariteten 2.

Definisjon av operasjoner[rediger | rediger kilde]

Tilsvarende som funksjoner finnes det mange måter for å definere operasjoner. Definisjonen vil avhenge av hvilke objekter som operasjonen virker på: addisjon av reelle tall og addisjon av matriser er for eksempel ikke samme operasjon. Slike grunnleggende operasjoner blir likevel definert ut fra et sett av felles aksiomer, slik at de alltid vil være kjennetegnet av et sett grunnleggende egenskaper. For addisjon i en mengde M gjelder for eksempel de følgende aksiomene:[2]

  • Dersom både x og y er elementer i M, så er også (x + y) et element i M.
  • Addisjon er kommutativ, det vil si at x + y = y + x for alle x og y i M
  • Addisjonen er assosiativ, det vil si at (x + y) + z = x + (y + z) for alle x, y og z i M
  • M inneholder et nullelement 0, slik at x + 0 = x for alle x i M
  • For hver x finnes det et inverselement -x i M, slik at x + (-x) = 0

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 419. ISBN 0-00-434347-6.  [Operations]
  2. ^ Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.  Sjekk datoverdier i |dato= (hjelp)