L^p-rom

Innen matematikk er $L p$ -rommene funksjonsrom definert som en naturlig generalisering av p-normen for endeligdimensjonale vektorrom. De kalles også for Lesbesgue-rom, navngitt etter Henri Lebesgue. $L p$ -rom er også Banachrom, og utgjør en viktig klasse av topologiske vektorrom innen funksjonalanalyse. De spiller en nøkkelrolle i matematisk analyse av mål- og sannsynlighetsrom, og er derfor også viktig for det teoretiske grunnlaget for og diskusjonen rundt problemer innenfor blant annet fysikk, statistikk og finans.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

La $(\Omega ,A,\mu )$ være et målrom og $0<p\leq \infty$ kan man definere en norm gitt ved

||f||_{p}=(\int _{\Omega }|f|^{p}d\mu )^{1/p}

for $p<\infty$ , og

||f||_{\infty }=inf\{M:|f|\leq M\}

nesten overalt (med hensyn til målet $\mu$ ). Da er det korresponderende L^p-rommet er definert som mengden av A-målbare funksjoner der dette integralet konvergerer (er endelig).^[1]

Man kan tenke på $L^{p}$ -rom som en generalisering av $L^{2}$ -rom, mengden av kvadratiske integrerbare funksjoner, der disse er definert som mengden av funksjoner hvis

|f|_{2}=(\int _{\Omega }|f|^{2}d\mu )^{1/2}

er endelig. Dette tilsvarer normen indusert av det generelle indreproduktet

\langle f,g\rangle =\int _{X}f{\overline {g}}d\mu

definert over et funksjonsrom.

L^p-rom over $\mathbb {R} ^{n}$ [rediger | rediger kilde]

Dersom $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ er det vanlig å referere til $L^{p}$ -rommet som $L^{p}(\Omega )$ .^[1]

L^p-rom over følgerom[rediger | rediger kilde]

Dersom $\mu$ er tellemålet er det vanlig å referere til $L^{p}$ -rommet som ${\mathcal {l}}^{p}(\Omega )$ , eller bare ${\mathcal {l}}^{p}$ .^[1]

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Grunnleggende egenskaper[rediger | rediger kilde]

For alle L^p-rom gjelder følgende:^[1]

For alle $f\in L^{p}$ og alle skalarer $\alpha$ gjelder
$||\alpha f||_{p}=|\alpha |||f||_{p}$
$L^{p}$ er et vektorrom
For alle $f\in L^{p}$ $f\in L^{p}$ finnes det en følge av enkle funksjoner $\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ $\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ i L^p som konvergerer til f nesten overalt:
1. $s_{n}\to f$
2. $||f-s_{n}||_{p}\to 0$
3. $\int _{\Omega }|s_{n}|^{p}d\mu \to \int {\Omega }|f|^{p}d\mu$

Hölders ulikhet[rediger | rediger kilde]

Hvis p og q er to (utvidet reelle) tall, slik at $1\leq p\leq \infty$ og $1\leq p\leq \infty$ , og slik at ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ , og $f,g$ to A-målbare funksjoner, har vi at

||fg||_{1}=\int _{\Omega }|fg|d\mu \leq ||f||_{p}||g||_{p}

med likhet for p > 1 hvis og bare hvis det finnes to konstanter $\alpha ,\beta$ som ikke begge er 0, slik at

\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}

.^[1]

Dette kalles for Hölders ulikhet, og hvis $p=q=2$ får vi Cauchy–Schwarz’ ulikhet.

Dersom vi jobber med funksjonsrom over $\mathbb {R}$ , der $\Omega$ f.eks. kan være et interval $[a,b]$ kan ulikheten uttrykkes som

\int _{a}^{b}|fg|dx\leq ||f||_{p}||g||_{p}.

Minkowskis ulikhet[rediger | rediger kilde]

La $1\leq p\leq \infty$ igjen. Da gjelder

||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p}

for alle $f,g\in L^{p}(\mu )$ .^[1]

Dette kalles for Minkowskis ulikhet.

Riesz' teorem[rediger | rediger kilde]

For $1\leq p\leq \infty$ er $(L^{p}(\mu ),||\cdot ||_{p})$ et komplett metrisk rom med hensyn på normen gitt ved $||\cdot ||_{p}$ , altså et Banach-rom.^[1]

Dette kalles for Riesz' teorem. For $0<p<1$ har vi at $L^{p}$ fortsatt er et vektorrom, men $|| \cdot || p$ er ikke lenger en norm – derimot kan man vise at det er en metrikk, så for $0<p<1$ er $L^{p}$ et metrisk rom.^[1] For $p=2$ er $L^{p}$ også et Hilbertrom.