Lp-rom

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

Innen matematikk er Lp-rommene funksjonsrom definert som en naturlig generalisering av p-normen for endeligdimensjonale vektorrom. De kalles også for Lesbesgue-rom, navngitt etter Henri Lebesgue. Lp-rom er også Banachrom, og utgjør en viktig klasse av topologiske vektorrom innen funksjonalanalyse. De spiller en nøkkelrolle i matematisk analyse av mål- og sannsynlighetsrom, og er derfor også viktig for det teoretiske grunnlaget for og diskusjonen rundt problemer innenfor blant annet fysikk, statistikk og finans.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

La være et målrom og kan man definere en norm gitt ved

for , og

nesten overalt (med hensyn til målet ). Da er det korresponderende Lp-rommet er definert som mengden av A-målbare funksjoner der dette integralet konvergerer (er endelig).[1]

Man kan tenke på -rom som en generalisering av -rom, mengden av kvadratiske integrerbare funksjoner, der disse er definert som mengden av funksjoner hvis

er endelig. Dette tilsvarer normen indusert av det generelle indreproduktet

definert over et funksjonsrom.

Lp-rom over [rediger | rediger kilde]

Dersom er det vanlig å referere til -rommet som .[1]

Lp-rom over følgerom[rediger | rediger kilde]

Dersom er tellemålet er det vanlig å referere til -rommet som , eller bare .[1]

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Grunnleggende egenskaper[rediger | rediger kilde]

For alle Lp-rom gjelder følgende:[1]

  1. For alle og alle skalarer gjelder
  2. er et vektorrom
  3. For alle finnes det en følge av enkle funksjoner i Lp som konvergerer til f nesten overalt:

Hölders ulikhet[rediger | rediger kilde]

Hvis p og q er to (utvidet reelle) tall, slik at og , og slik at , og to A-målbare funksjoner, har vi at

med likhet for p > 1 hvis og bare hvis det finnes to konstanter som ikke begge er 0, slik at

.[1]

Dette kalles for Hölders ulikhet, og hvis får vi Cauchy–Schwarz’ ulikhet.

Dersom vi jobber med funksjonsrom over , der f.eks. kan være et interval kan ulikheten uttrykkes som

Minkowskis ulikhet[rediger | rediger kilde]

La igjen. Da gjelder

for alle .[1]

Dette kalles for Minkowskis ulikhet.

Riesz' teorem[rediger | rediger kilde]

For er et komplett metrisk rom med hensyn på normen gitt ved , altså et Banach-rom.[1]

Dette kalles for Riesz' teorem. For har vi at fortsatt er et vektorrom, men || · ||p er ikke lenger en norm – derimot kan man vise at det er en metrikk, så for er et metrisk rom.[1] For er også et Hilbertrom.

Referanser[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • John. N McDonald og Neil A. Weiss (2013). A Course in Real Analysis. Elsevier. ISBN 978-0-123-87774-1. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]