Målrom

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

Et målrom er en trippel av en mengde, en σ-algebra og et ikke-negativt mål på de ulike delmengdene gitt ved σ-algebraen. Mengden kan for eksempel være de reelle tallene. σ-algebra gir en måte å dele opp disse i ulike delmengder, for eksempel intervaller. er en måte å tilordne et mål på hver delmengde i σ-algebraen, for eksempel lengden av hvert intervall.

Målrom et basiskonsept innen målteori, og generaliserer konsepter som lengde, areal og volum fra euklidsk geometri.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

En mengde er innen matematikk en veldefinert samling av objekter. En σ-algebra er videre en familie av delmengder i en gitt mengde slik at[1]

  1. er ikke tom.
  2. Lukket under komplement: Hvis er med i så er komplementet også være med i
  3. Lukket under tellbare unioner: Hvis er en samling av mengder i er også unionen med i

og et mål på er en utvidet reell funksjon slik at

  1. for alle
  2. Dersom er en følge av parvis disjunkte delmengder av , altså slik at for , så er
    .[2]

En trippel kalles for et målrom.

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Et målrom sies å være komplett dersom alle delmengder av alle med mål 0 også er i ; altså dersom og , så er . Ethvert målrom kan alltid utvides til et komplett målrom.[3]

Eksempel[rediger | rediger kilde]

La , og potensmengden til , altså

.

Definer til å være

Trippelen er et målrom, og mer nøyaktig et sannsynlighetsrom, siden .

Referanser[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • John. N McDonald og Neil A. Weiss (2013). A Course in Real Analysis. Elsevier. ISBN 978-0-123-87774-1. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]