Metrikk (matematikk)

Trekantulikheten for en metrikk i planet

En metrikk i matematikk er en funksjon som definerer en avstand eller distanse mellom to elementer i en mengde. En mengde med en definert metrikk kalles et metrisk rom.

I en euklidsk metrikk i rommet er avstanden mellom to punkter definert i samsvar med dagligdags bruk av avstandsbegrepet. I en generell definisjon av metrikk er egenskaper til avstandsbegrepet abstrahert, slik at en kan definere en «distanse» mellom to vilkårlige mengde-elementer, for eksempel mellom to funksjoner. For en vilkårlig mengde kan en definere mange alternative metrikker. Vanlig brukte metrikker kan opptre under flere alternative navn.

Formell definisjon

En metrikk for mengden V er en funksjon som for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

$d:V\times V\to \mathbb {R} ^{+}$

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer $x$, $y$ i $V$:

${\begin{array}{lll}d(x,y)&\geq 0&{\mbox{Ikke-negativ}}\\d(x,y)&=0\iff x=y\\d(x,y)&=d(y,x)&{\mbox{Symmetri}}\\d(x,y)&\leq d(x,z)+d(z,y)\qquad &{\mbox{Trekantulikheten}}\\\end{array}}$

Definisjonen formaliserer intuitive egenskaper til en distansefunksjon: En avstand kan aldri være negativ. Avstanden mellom to element kan bare være lik null dersom elementene er like. Avstanden fra x til y er like lang som fra y til x. Den korteste avstanden mellom to punkt er en rett linje.

En pseudometrikk eller premetrikk er en funksjon som tilfredsstiller alle kravene, bort sett fra nummer to, som erstattes av et svakere vilkår:

$x=y\Rightarrow d(x,y)=0$.

En kvasi-metrikk eller skeiv-metrikk trenger ikke oppfylle symmetrivilkåret. En semi-metrikk oppfyller ikke trekantulikheten.

For en vilkårlig mengde er det mulig å konstruere uendelig mange metrikker.

Metrikker for tallmengder

Absoluttverdi-metrikk

For vanlige tallmengder, som mengden av komplekse tall, mengden av reelle tall, mengden av rasjonale tall, mengden av heltall, er det vanlig å definere metrikken ved hjelp av absoluttverdi:

$d(x,y)=|x-y|$.

p-adisk metrikk

For mengden av rasjonale tall kan en bruke en p-adisk, basert på et vilkårlig primtall $p$. Differensen mellom to rasjonale tall $r$ og $s$ er også et rasjonalt tall og kan skrives som en brøk. Primtallsfaktorisering av denne brøken vil ta formen

$r-s={p^{\alpha }m \over n}$.

Faktoren $\alpha$ er er heltall, og heltallene $m$ og $n$ inneholder ikke primtallsfaktoren $p$. Den p-adiske metrikken er definert ved

$d(r,s)={\begin{cases}p^{-\alpha }&r\neq s\\0&r=s\end{cases}}$

Metrikken kan brukes til å utvide de rasjonale tallene til p-adiske tall.

Metrikker for endelige n-tupler

Drosjemetrikk (rød, gul og blå) versus euklidsk metrikk (grønn) i planet

En endelig n-tuppel av tall er på formen $x={x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$, der tallene kan være reelle, som i $\mathbb {R} ^{n}$, eller komplekse, som i $\mathbb {C} ^{n}$. Dette inkluderer kartesiske koordinater i planet og i rommet. For disse rommene er flere metrikker i vanlig bruk.

I det følgende er $y={y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$, tilsvarende som for $x$.

Drosjemetrikk, taxicab-metrikk, Manhattan-metrikk

Metrikken $d_{1}$ kalles drosjemetrikk, taxicab-metrikk eller Manhattan-metrikk. En drosje som kjører på Manhattan vil måtte tilbakelegge avstander styrt av rutenettet av gater.

$d_{1}(x,y)=\sum _{i}^{n}|x_{i}-y_{i}|$

Euklidsk metrikk

Metrikken $d_{2}$ er den euklidske metrikken, som er avstandsmålet i euklidsk geometri. Dette er avstandsmålet kjent fra daglidags bruk.

$d_{2}(x,y)=(\sum _{i}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2})^{1 \over 2}$

I to dimensjoner tar dette uttrykket formen

$d_{2}(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}$

p-metrikk

En p-metrikk $d_{p}$ er også kalt Minkowskis p-metrikk, etter matematikeren Hermann Minkowski. Beviset for at denne er en metrikk bygger på Minkowskis ulikhet. Både drosjemetrikken og den euklidske metrikken er spesialtilfeller av p-metrikken.

$d_{p}(x,y)=(\sum _{i}^{n}(x_{i}-y_{i})^{p})^{1 \over p}$

Maksimumsmetrikk, Tjebysjev-metrikk

Maksimumsmetrikken, også kalt Tjebysjev-metrikken, er gitt ved

$d_{\infty }=\max _{i}(|x_{i}-y_{i}|)$

Det siste navnet gitt etter Pafnutij Tsjebysjov. Skrivemåten for det russiske navnet varierer.

Andre metrikker for n-tupler

Hvis $d(x,y)$ er en vilkårlig metrikk for n-tupler, så kan en definere en ny metrikk ved

$d^{*}(x,y)={d(x,y) \over 1+d(x,y)}$

Metrikker for tallfølger

For uendelige følger av reelle tall $x=(x_{1},x2_{2},\ldots )$ er

$d(x,y)=\sum _{i}^{\infty }{1 \over 2^{i}}{{|x_{i}-y_{i}|} \over {1+|x_{i}-y_{i}|}}$

en metrikk. For en del andre metrikker må en legge på tilleggsvilkår på følgen for å sikre at metrikken eksisterer:

${\begin{alignedat}{3}d_{p}(x,y)&=(\sum _{i}^{\infty }|x_{i}-y_{i}|^{p})^{1 \over p}\qquad &{\mbox{for følger der }}\sum _{i}^{\infty }|x_{i}|^{p}<\infty &\\d_{\infty }(x,y)&=\sup _{i}(|x_{i}-y_{i}|)&{\mbox{for begrensede følger}}&\end{alignedat}}$

Metrikker i funksjonsrom

For mengden av alle kontinuerlige funksjoner $x(t)$ på intervallet [0,1] er de følgende funksjonene metrikker:

${\begin{alignedat}{2}d_{p}(x,y)&=\left\lbrace \int _{0}^{1}|x(t)-y(t)|^{p}\right\rbrace ^{1 \over p}\\d_{\infty }(x,y)&=\sup _{t\in [0,1]}(|x(t)-y_{(}t)|)\end{alignedat}}$

Metrikken $d_{i}nfty$ kalles noen ganger uniform metrikk eller supremum-metrikk.

For mengden av alle funksjoner $x(t)$ der både $x$ og $x^{2}$ er Lebegue-integrerbare på intervallet [0,1] kan en bruke metrikken

$d_{2}(x,y)=\left\lbrace \int _{0}^{1}|x(t)-y(t)|^{2}\right\rbrace ^{1 \over 2}$

To funksjoner betraktes som ekvivalente dersom integralet er lik null. Funksjonene trenger ikke være punktvis identiske, men kan være ulike på en mengde av mål null.

Metrikker for binære strenger

En binær streng av lengde N er datastruktur, en sammensetning av 0-er og ett-tall: 00110011101. I mengden av alle slike kan en definere Hamming-avstandeen som en metrikk. Denne kan defineres som det minste antall utskiftninger som er nødvendig for å transformere den ene strengen til den andre.

Diskret metrikk for alle mengder

For en vilkårlig mengde er den diskrete metrikken definert som følger

${\begin{alignedat}{3}d(x,y)&=0\qquad &\ {\mbox{dersom }}x=y\\d(x,y)&=1&{\mbox{ellers}}\\\end{alignedat}}$

Denne metrikken viser at en vilkårlig mengde kan bli gjort til et metrisk rom. Metrikken kan også brukes til å vise at tilsynelatende opplagte egenskaper ikke trenger være oppfylt i alle metriske rom.

Kontinuitet til metrikken

Som en følge av trekantulikheten er metrikken en kontinuerlig funksjon:

$(\lim x_{n}=x{\text{ og }}\lim y_{m}=y)\Rightarrow \lim d(x_{n},x_{m})=d(x,y)$

Kartesisk produkt

Gitt en endelig mengde av metriske rom $\lbrace (S_{1},d_{1}),(S_{2},d_{2}),\ldots ,(S_{n},d_{n})\rbrace$. For det kartesiske produktet $S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}$ kan en definere flere alternative produkt-metrikker:

${\begin{alignedat}{2}d(x,y)&=\sum _{i}^{n}d_{i}(x_{i},y_{i})\\d(x,y)&=\left\lbrace \sum _{i}^{n}(d_{i}(x_{i},y_{i}))^{2}\right\rbrace ^{1 \over 2}\\d(x,y)&=\max _{i}d_{i}(x_{i},y_{i})\end{alignedat}}$

Metrikk, norm og indreprodukt

For en mengde der det er definert en norm $\lVert \cdot \rVert$, er en naturlig metrikk gitt ved

$d(x,y)=\lVert x-y\rVert$.

Normen er da lik avstanden fra et element til null-elementet:

$\lVert x\rVert =d(x,0)$.

For et indreproduktrom med en norm definert fra indreproduktet $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ kan en ha samsvarende definisjoner:

$d(x,y)=\lVert x-y\rVert ={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}$.

Metrikk og topologi

En metrikk vil definere en topologi i mengden, men ikke alle topologier kan defineres ut fra en metrikk. En topologi som kan avledes fra en metrikk sies å være metriserbar.

Ekvivalente metrikker

To metrikker $d_{A}$ og $d_{B}$ i samme mengde sies å være (sterkt) ekvivalente dersom det eksisterer konstanter $\alpha$ og $\beta$, slik at for alle elementer i mengden^{[trenger referanse]}

$\alpha d_{A}(x,y)\leq d_{B}(x,y)\leq \beta d_{A}(x,y)$.

Slik ekvivalens mellom metrikker er et noe svakere vilkår enn isometri, der to metrikker overalt er like.

To metrikker er topolgisk ekvivalente dersom de alle induserer samme topologi. I $\mathbb {R} ^{n}$ er alle metrikker topologisk ekvivalente.

Sterk ekvivalens medfører topologisk ekvivalens, men generelt ikke motsatt.

Metrikk i differensialgeometri

I differensialgeometri er en metrikk definert som en infinitesimal avstand mellom to nærliggende punkt. I $\mathbb {R} ^{3}$ kan en linjeelement uttrykkes som

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Ved å sette $(x,y,z)=(x_{1},x_{2},x_{3})$ kan en uttrykke et generelt koordinatskifte som $x_{i}=x_{i}(x^{1},x^{2},x^{3})$. Etter koordinatskifte kan linjeelementet ved hjelp av Einsteins summekonvensjon da skrives

$ds^{2}=g_{mn}dx^{m}dx^{n}$

Koeffisientene $g_{mn}$ er en andre-ordens, kovariant, symmetrisk tensor. Tensoren er positivt definit, som sikrer at avstanden er positiv og bare lik null for sammenfallende (infinetesimalt nærliggende) punkt. Tensoren kalles en metrisk tensor, noen ganger løselig kalt en metrikk.

Definisjonen av en metrisk tensor kan generaliseres til høyere-ordens rom. Det er også mulig å fire på kravet om at tensoren skal være positivt definit. En metrisk tensor som er positivt definit kalles en Riemann-metrikk, mens en pseudo-Riemann-metrikk kan være indefinit.

Litteratur

• R.D.Milne (1980). Applied functional analysis. An introductory treatment.. London: Pitman Publishing. ISBN 0-273-08404-6.