Metrikk (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

En metrikk i matematikk er en funksjon som definerer en avstand eller distanse mellom to elementer i en mengde. En mengde med en definert metrikk kalles et metrisk rom.

I et euklidsk rom har en definert avstanden mellom to punkter på en måte som sammenfaller med vår dagligdagse bruk av avstandsbegrepet. I den matematiske definisjonen av en metrikk har en abstrahert egenskapene til avstandsbegrepet, slik at en kan definere en distanse eller metrikk mellom to vilkårlige mengde-elementer, for eksempel mellom to funksjoner.

En metrikk vil definere en topologi i mengden, men ikke alle toplogier kan defineres ut fra en metrikk. En topologi som er avledet av en metrikk sies å være metriserbar.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

En metrikk for mengden V er en funksjon som for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:

Definisjonen formaliserer intuitive egenskaper til en distansefunksjon: En avstand kan aldri være negativ. Avstanden mellom to element kan bare være lik null dersom elementene er like. Avstanden fra x til y er like lang som fra y til x. Den korteste avstanden mellom to punkt er en rett linje.

Metrikk-eksempler[rediger | rediger kilde]

Diskrete metrikk[rediger | rediger kilde]

For en vilkårlig mengde er den diskrete metrikken er definert som følger

Euklidsk metrikk[rediger | rediger kilde]

Et punkt i det tredimensjonale euklidske rommet kan skrives som x = (x1,x2,x3). Metrikken i dette rommet er definert ved

Taxicab-metrikk[rediger | rediger kilde]

For det tredimensjonale rommet kan en bruke taxicab-metrikken definert ved

.

Denne metrikken er også kjent under navnet Manhattan-metrikken.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • R.D.Milne (1980). Applied functional analysis. An introductory treatment. London: Pitman Publishing. ISBN 0-273-08404-6.