Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra . Den har sitt navn etter den franske matematikeren
Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Herman Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.
For vektorer
u
=
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2})}
v
=
(
v
1
,
v
2
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})}
|
u
1
v
1
+
u
2
v
2
|
≤
u
1
2
+
u
2
2
v
1
2
+
v
2
2
{\displaystyle |u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}|\leq {\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}}
Generelt gjelder: For vektorer
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
vektorrom med indreprodukt
⋅
{\displaystyle \cdot }
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
|
u
⋅
v
|
≤
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}
Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.
(
∑
k
=
1
n
a
k
2
)
(
∑
k
=
1
n
b
k
2
)
≥
(
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
)
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)\geq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}}
Der elementene i følgende
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
{\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}}
Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i Course d’analyse (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.
Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik
0
{\displaystyle 0}
θ
{\displaystyle \theta }
cos
θ
=
u
⋅
v
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}}
0
≤
θ
≤
π
{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }
Svingninger beskrives ved en funksjon
f
(
x
)
=
a
cos
(
x
)
+
b
sin
(
x
)
{\displaystyle f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(
cos
(
x
)
,
sin
(
x
)
)
{\displaystyle (\cos(x),\sin(x))}
|
f
(
x
)
|
=
|
a
cos
(
x
)
+
b
sin
(
x
)
|
≤
a
2
+
b
2
{\displaystyle |f(x)|=|a\cos(x)+b\sin(x)|\leq {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
siden
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}
Dersom
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
La
t
{\displaystyle t}
t
u
+
v
{\displaystyle t\mathbf {u} +\mathbf {v} }
(
t
u
+
v
)
⋅
(
t
u
+
v
)
≥
0
{\displaystyle (t\mathbf {u} +\mathbf {v} )\cdot (t\mathbf {u} +\mathbf {v} )\geq 0}
Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i
t
{\displaystyle t}
‖
u
‖
2
t
2
+
2
(
u
⋅
v
)
t
+
‖
v
‖
2
≥
0
{\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}t^{2}+2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )t+\|\mathbf {v} \|^{2}\geq 0}
Et annengradspolynom
a
t
2
+
b
t
+
c
{\displaystyle at^{2}+bt+c}
0
{\displaystyle 0}
t
{\displaystyle t}
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
diskriminanten
D
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
0
{\displaystyle 0}
(
2
(
u
⋅
v
)
)
2
−
4
‖
u
‖
2
‖
v
‖
2
≤
0
{\displaystyle (2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ))^{2}-4\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}\leq 0}
En rydder opp og ser at:
(
u
⋅
v
)
2
≤
‖
u
‖
2
‖
v
‖
2
{\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}}
Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:
|
u
⋅
v
|
≤
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}
