Cauchy–Schwarz’ ulikhet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Jump to navigation Jump to search

Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Herman Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.

Om ulikheten[rediger | rediger kilde]

For vektorer og i planet sier ulikheten at:

.

Generelt gjelder: For vektorer og i et reelt vektorrom med indreprodukt , eksempelvis det Euklidske n-rommet , er

.

Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.

Der elementene i følgene og er i den reelle tallmengden

Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i Course d’analyse (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Vinkler[rediger | rediger kilde]

Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik , er veldefinert. Denne vinkelen er spesifisert ved

og .

Amplitude for svingninger[rediger | rediger kilde]

Svingninger beskrives ved en funksjon , hvor og er parametere. Ved å se på og som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

siden .

Bevis[rediger | rediger kilde]

Dersom eller er lik , så er ulikheten opplagt. Anta derfor at begge vektorene er ulik .

La være en skalar, og se på vektoren . Vi har

.

Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i , får vi

.

Et annengradspolynom er større enn eller lik for alle dersom og diskriminanten er mindre enn eller lik . I vårt tilfelle fås:

.

En rydder opp og ser at:

.

Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:

.

Referanser[rediger | rediger kilde]


Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]