Fakultet (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Faktultet (matematikk))
Hopp til: navigasjon, søk

Fakultet eller n-fakultet er i matematikk en funksjon som beregner produktet av de naturlige tallene fra 1 til n. Funksjonen betegnes med symbolet n!, som leses som n-fakultet.

Eksempel:


Definisjon[rediger | rediger kilde]

Formelt kan en definere n-fakultet som

eller rekursivt ved

.

Begge definisjonene inkluderer spesialtillfellet

Funksjonsverdiene definerer en uendelig tallfølge som begynner med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...

Bruk[rediger | rediger kilde]

Fakultet opptrer naturlig i mange problemer i kombinatorikk: Antall måter man kan ordne n objekter i rekkefølge er lik n!. Antall måter man kan velge ut k objekter fra en samling på n objekter er gitt ved binomialkoeffisienten, definert ved

Denne inngår i binomialformelen. Bruken av fakultet forenkler også notasjonen i arbeid med følger og rekker. Den matematiske konstanten e kan for eksempel defineres som

Vekstrate[rediger | rediger kilde]

Plott av den naturlige logaritmen til n!

Når n øker vil n-fakultet vokse fortere enn et vilkårlig polynom p(n) og også fortere enn eksponensialfunksjonen med argument n . En asymptotisk tilnærming av n! er gitt ved Stirlings formel,

Fra Stirlings formel kan en også utlede en enkel tilnærming for den naturlige logaritmen til n! ,

Fra dette kan en se at log n! er av orden n log n, et resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.




Gammafunksjonen[rediger | rediger kilde]

Gammafunksjonen
Utdypende artikkel: Gammafunksjonen

Gammafunksjonen er en generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvidet fra de naturlige tallene til å omfatte alle relle tall. Funksjonen er definert ved

For hele, positive tall og null gjelder det at

Historie[rediger | rediger kilde]

Notasjonen n! ble innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket Éléments d'arithmétique universelle.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]