Gauss-integral

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Grafisk fremstilling av Gauss-kurven i blått. Gauss-integralet gir størrelsen til arealet i rødt under kurven.

Gauss-integralet gir arealet under Gauss-kurven y = ex2. I tillegg til å være av betydning i forskjellige deler av matematikken, har det mange anvendelser i sannsynlighetsregning, statistisk mekanikk, kvantemekanikk og kvantefeltteori. Integralet er definert som

og gir opphav til mange andre, relaterte integral. Dets navn er knyttet til Carl Friedrich Gauss selv om flere andre matematikere som Leonhard Euler, Pierre-Simon Laplace og Siméon Denis Poisson var kjent med det.

Beregning[rediger | rediger kilde]

Det er ikke mulig å beregne det gaussiske integralet I  direkte fra de vanligste reglene for integrasjon. Men det lar seg gjøre fra det dobbelte integralet

som kan beregnes ved å innføre polarkoordinater x = r cosθ og y = r sinθ. Det gir

hvor verdien til den radielle integrasjonen følger fra eksponentialfunksjonen ved å innføre t = r 2 som ny integrasjonsvariabel. Dermed har man verdien I0 = √π av Gauss-integralet.

Relaterte integral[rediger | rediger kilde]

Ved et skifte av integrasjonsvariabel har Gauss-integralet på litt mer generell form verdien

Tar man her den deriverte av begge sider med hensyn på parameteren a, finner man at

Fortsatte derivasjoner gir verdien av mer kompliserte integral.

En videre generalisering av Gauss-integralet er

som fremkommer ved å skrive eksponenten som et fullstendig kvadrat,

og så skifte integrasjonsvariabel til y = x - b/2a.

Sammenheng med gammafunksjonen[rediger | rediger kilde]

Ved å bruke t = x 2 som ny variabel i Gauss-integralet, tar det formen

Det er derfor ekvivalent med den spesielle verdien Γ(1/2) = √π  for gammafunksjonen.

Mer generelle Gauss-integral kan gjøres på samme måte ved bruk av gammafunksjonen. For eksempel,

igjen etter substitusjonen xt = x 2 slik at dt = 2xdx. For n = 1 gir dette I 2 = Γ(3/2) = Γ(1/2 + 1) = (1/2)⋅Γ(1/2) = √π /2 i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet.

Se også[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]