Kjeglesnitt

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Grafisk framstilling av forskjellige kjeglesnitt (engelsk:Conic sections)

Kjeglesnitt er en vanlig fellesbetegnelse på tre geometriske figurer som vi får når vi legger et plant snitt gjennom en kjegle.

Tabell over kjeglesnitt, Cyclopaedia, 1728

Matematisk blir et kjeglesnitt en kurve beskrevet av en andregradsligning med to variable. Den kan defineres som lokus av punkter i planet hvis avstand har konstant forholdstall til ett punkt, kallt fokus, og en linje, kallt dirextrise.

Dersom man anser sirkelen, som er et spesialtilfelle av ellipsen, for å være en separat kategori, finnes det fire ulike kjeglesnitt: sirkel, ellipse, hyperbel og parabel.

Den greske matematikeren Apollonios skrev om dette i boken med samme navn allerede 200 år f. Kr.

Historie[rediger | rediger kilde]

Menaichmos[rediger | rediger kilde]

Man tror at den første definisjonen av kjeglesnitt ble utarbeidet av Menaichmos. Dette arbeidet har ikke overlevd. Definisjonen som ble brukt da, skiller seg fra den vanlige i dag, ved at den krever at planet som snitter kjeglen står vinkelrett på en av linjene som generer konen ved sin rotasjon (konens generatrix).

Euklid sies å ha skrevet fire bøker om kjeglesnitt, men disse har også gått tapt. Man vet at Arkimedes også studerte kjeglesnitt, ettersom han bestemte arealet begrenset av en parabel og en ellipse.

Appolonius av Perga[rediger | rediger kilde]

De største fremskrittene i de gamle grekernes studie av kjeglesnitt skyldes Appolonius av Perga, hvis åttebindsverk oppsumerte og videreutviklet tidens kunnskap. Appolonius viktigste innovasjon var å karakterisere et kjeglesnitt ved å bruke egenskaper i planet og intrinsikk ved kurven, noe som forenklet analysen. Slik ble det mulig å vise at ethvert plan som snitter konen, uansett vinkel, vil produsere ett kjeglesnitt som fra den tidligere versjonen, noe som førte til den moderne definisjonen.

Pappus tilskrives oppdagelsen av det viktige begrepet fokus til et kjeglesnitt, og oppdagelsen av det relaterte begrepet dirextrise.

Al-Kuhi[rediger | rediger kilde]

Et instrument for å tegne kjeglesnitt ble beskrevet i 1000 e.kr. av den muslimske matematikeren Al-Kuhi.

Omar Khayyám[rediger | rediger kilde]

Appolonius' verk ble oversatt til arabisk, og mye av hans arbeider er overlevert til oss bare via den arabiske versjonen. Perserne fant anvendelser av teorien; den mest bemerkelsesverdige av disse var den persiske matematikeren og poeten Omar Khayyám, som brukte kjeglesnitt til å løse algebraiske ligninger.

Europa[rediger | rediger kilde]

Johannes Kepler utvidet teorien gjennom å bruke «kontinuitetsprinsippet», en forgjenger for begrepet grenser. Girard Desargues og Blaise Pascal utviklet en teori for kjeglesnitt som brukte en tidlig versjon av projektiv geometri, og dette hjalp som motivasjon for utviklingen av dette nye feltet. Pascal oppdaget et teorem kalt hexagrammum mysticum fra hvilken mange andre egenskaper ved kjeglesnitt kan utledes. Videre anvendte Rene Descartes sin nylig oppdagede analytiske geometri til studiet av kjeglesnitt. Effekten av dette var å redusere de geometriske egenskapene ved kjeglesnitt til problemer i algebra.

Definisjoner[rediger | rediger kilde]

Kjeglesnitt er av tre typer: parabler (1), ellipser, som inkluderer sirkler (2), eller hyperbler (3).

De tre typene av kjeglesnitt er ellipse, parabel og hyperbel. Sirkelen kan betraktes som en fjerde type (noe Appolonius gjorde), eller som et spesialtilfelle av en ellipse. Sirkelen og ellipsen oppstår når snittet mellom planet og konen er en lukket kurve, sirkelen fås når det snittende planet er vinkelrett på konens symmetriakse. Hvis det skjærende planet er parallelt med nøyaktig en av konens genererende linjer, får vi en åpen kurve som er en parabel. I det gjenværende tilfellet er kurven en hyperbel. I dette tilfellet vil planet skjære begge halvdeler av kjeglen, og vi får to separate åpne kurver. Vi sier at hyperbelen består av to grener.

Med et kjeglesnitt assosierer vi forskjellige parametre, se den følgende tabellen. (For ellipse, så gir tabellen tilfellet  a > b , for hvilken hovedaksen er horisontal, for det motsatte tilfellet, ombytt  a og  b . For hyperbelen gir tabellen tilfellet hvor kurven åpner seg øst-vest. I alle tilfeller er  a og  b positive.)

kjeglesnitt ligning eksentrisitet(e) lineær eksentrisistet (c) semi-latus rectum () fokal parameter (p)
sirkel x^2+y^2=a^2 \,  0 \,  0 \,  a \,  \infty
ellipse \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \sqrt{a^2-b^2} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}
parabel y^2=4ax \,  1 \,  a \,  2a \,  2a \,
hyperbel \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \sqrt{a^2+b^2} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}
Kkjeglesnittparametre i tilfellet en ellipse

Kjeglesnitt er nøyaktig de kurvene slik at, for ett punkt  F og en linje  L ikke på  F , og et ikke-negativt tall  e , er lokus for alle punkter hvis avstand til  F er lik  e ganger deres avstand til  L .   F kalles fokus og  e er eksentrisiteten. Den lineære eksentrisiteten  (c) er avstanden mellom senteret og fokus (for ett av de to foki). Latus rectum  (2 l) er korden parallelt til dirextrisen som går gjennom fokus (eller en av de to foki), Semi-latus rectum er halvparten  (l) . Fokus-parameteren  (p) er avstanden fra fokus (eller en av de to foki) til dirextrisen. Følgende relasjoner gjelder:

  •  pe = l
  •  ae = c

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Som to (forskjellige!) punkter bestemmer en rett linje, så bestemmer fem punkter ett kjeglesnitt. Formelt, gitt fem punkter i planet i generell posisjon, som betyr at ingen tre punkter er kolineære, så finnes ett entydig bestemt kjeglesnitt som går gjennom dem, og som ikke er degenerert. Dette er sant både i det afine og i det projektive planet. Irredusible kjeglesnitt er alltid "glatte". Presist, så betyr det at de ikke har infleksjonspunkter. Dette er viktig for mange anvendelser, så som i aerodynamikk, hvor en glatt flate er krevet for å sikre laminær strømning, og derved unngå turbulens.

Skjæring i uendelig[rediger | rediger kilde]

En intrinsikk form på klassifikasjonen av kjeglesnitt fås ved snittet med linjen i det uendelige, noe som gir videre innsikt i geometrien:

  • En ellipse snitter linjen i det uendelige i 0 punkter, eller, mer presist, i null reelle punkter men i to komplekse punkter, og disse er konjugerte.
  • Parabelen snitter linjen i det uendelige i ett dobbeltpunkt, som svarer til aksen --- de er tangenter til linjen i det uendelige.
  • Hyperbler skjærer linjen i det uendelige i to punkter, som svarer til asymptotene --- hyperbler går gjennom det uendelige, med en vri. ved å gå til uendelig langs en gren, så passerer vi punktet i uendelig som svarer til asymptoten, den gjenoppstår da på den andre grenen, på den andre siden, men med innsiden av hyperbelen (gitt ved retningen på krumningen) , på den andre siden (som svarer til ikke-orienterbarhet av det reelle projektive planet) --- og passerer så gjennom det andre punktet i uendelig og kommer tilbake til den første grenen. Slik kan hyperbler ses som ellipser som har blitt trukket gjennom uendelig, og gjenoppstår på den andre siden.

Degenerte tilfeller[rediger | rediger kilde]

Det finnes fem degenererte tilfeller, tre hvor planet går gjennom topp-punktet til konen, og tre som oppstår når konen selv er degenerert til en sylinder (en dobbellinje kan forekomme i begge tilfellene). Når planet går gjennom topp-punktet er kjeglesnittet alltid degenerert; ett punkt eller en rett linje (når planet tangerer konen) eller et par av rette linjer som skjærer hverandre i topp-punktet.

Disse svarer respektivt til en degenerert ellipse, parabel, eller hyperbel. Den rette linjen er, mere presist, en dobbeltlinje (linje med multiplisitet 2) fordi i dette tilfellet er planet tangent til konen, så skjæringer bør telles dobbelt.

Når konen er en sylinder, dvs. en kon med topp-punktet i uendelig, så får vi egentlig sylindersnitt, som er ellipser (eller sirkler), om ikke planet er vertikalt, dvs. går gjennom topp-punktet i uendelig, i dette tilfellet har vi tre tilfeller: 2 parallelle linjer, en dobbeltlinje, eller ingen skjæring-

Eksentrisitet, fokus og dirextrise[rediger | rediger kilde]

Ellipse (e=1/2), parabel (e=1) og hyperbel (e=2) med samme fokus F og direktrixe (e=∞).

De fire definerende betingelsene over kan kombineres som en betingelse som avhenger av ett gitt punkt  F (fokus), en linje  L som ikke går gjennom  F (dirextrisen), og ett ikkenegativt tall  e (eksentrisiteten). Det tilsvarende kjeglesnittet består av lokus av alle punkter hvis avstand til  F er lik  e multiplisert med deres avstand til  L .

For  0 < e < 1  får vi en ellipse, for  e=1  en parabel, og for  e > 1  en hyperbel.

For en ellipse og en hyperbel, kan vi ta to kombinasjoner av fokus og dirextrise, som begge gir samme kurve (med hyperbel mener vi da begge grenene).

Avstanden fra senteret til dirextrisen er   a/e  , hvor  a er semi-hovedaksen til ellipsen, eller avstanden fra sentrum til toppen av hyperbelen. Avstanden fra sentrum til ett fokus er  a e .

I tilfellet med en sirkel, er eksentrisiteten  e=0  , og man kan forestille seg dirextrisen som uendelig fjernt fra senteret. Men merk at påstanden at sirkelen består av alle punkter med avstand til  F gitt som eksentrisiteten ganger avstanden til  L blir meningsløs, siden vi får null ganger uendelig.

Eksentrisiteten til ett kjeglesnitt blir slik ett mål på hvor mye den avviker fra en sirkel. For en gitt  a , jo nærmere  e er til 1, jo mindre er semi-lille-aksen.

Generaliseringer[rediger | rediger kilde]

Kjeglesnitt kan også defineres over andre tallkropper, og kan klassifiseres i det projektive planet istedenfor som over, i det afine planet.

Over de komplekse tallene sammenfaller ellipser og hyperbler, siden det ikke er noe meningsfullt skille mellom  1 og  -1 , slik at ellipsen  x^2+y^2=1 går til en hyperbel ved substitusjonen  y=i w , noe som geometrisk er en kompleks rotasjon og gir  x^2 - w^2=1 , slik at en hyperbel simpelthen er en ellipse hvor en akse har imaginær lengde! Slik får vi en toveisklassifikasjon: ellipse/hyperbel og parabel. Geometrisk så svarer dette til å snitte linjen i uendelig i enten to adskilte punkter (som svarer til de to asymptotene) eller i ett dobbeltpunkt (som svarer til parabelens akse). Slik er den reelle hyperbelen et mer suggererende bilde for den komplekse ellipse/hyperbelen, ettersom den også har to (reelle) skjæringspunkter med linjen i uendelig.

For projektivt rom, over enten de reelle eller de komplekse tallene, så er alle ikke-degenererte kjeglesnitt ekvivalente, slik at i projektiv geometri så snakker man simpelthen om kjeglesnitt uten å spesifisere type, ettersom type ikke har betydning. Geometrisk, så er linjen i uendelig ikke lenger en spesiell linje, men har samme status som alle andre linjer. Mens noen kjeglesnitt snitter linjen i uendelig på forskjellig måte, så kan dette endres ved en projektiv transformasjon --- trekke en ellipse ut til uendelig eller dytte en parabel fra uendelig til enten en ellipse eller en hyperbel.

I andre deler av matematikken[rediger | rediger kilde]

(mere tekst kommer her!)

Kartesiske koordinater[rediger | rediger kilde]

(mere tekst kommer her!)



Se også[rediger | rediger kilde]