Fibonaccitall

Et Fibonacci-tall, også skrevet fibonaccitall^[1], er et ledd i en følge av heltall, kalt Fibonacci-følgen. De to første leddene i følgen er lik null og én, og påfølgende tall er definert som summen av de to foregående. Følgen er oppkalt etter den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci.

Forholdet mellom to påfølgende fibonaccitall er lik det gyldne snitt.

Fibonaccitall opptrer i mange sammenhenger i matematikk, og det finnes en rikholdig litteratur knyttet til fibonaccifølgen.

Tallfølgen

Ledd i fibonaccifølgen skrives ofte som $F_{n}$ . De to første fibonaccitallene er definert som $F_{0}=0$ og $F_{1}=1$ . De neste leddene i den uendelige følgen er definert rekursivt som^[2]

F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\qquad n\geq 2

.

En alternativ definisjon starter følgen med $F_{0}=1$ og $F_{1}=1$ .^[3]

Fibonaccitallene kan også finnes ved å ta utgangspunkt i Pascals trekant og forskyve alle radene, slik at hver rad begynner én posisjon lengre til høyre enn raden over. Da vil den venstre delen se slik ut:

	1
		1	1
			1	2	1
				1	3	3	1
					1	4	6	4	1
						1	5	10	10	5	1
							1	6	15	20	15	…
								1	7	21	35	…
									1	8	28	…
										1	9	…
											1	…
												osv.
Σ	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	osv.

Summen (Σ) av hver enkelt rekke er et fibonaccitall.

Uttrykket fibonaccirekken^[4] forekommer i litteraturen, men fibonaccitallene danner formelt sett en følge og ingen rekke.

Liste over fibonaccitall

De første fibonaccitallene er (følge A000045 i OEIS)

F₀	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈	F₉	F₁₀	F₁₁	F₁₂	F₁₃	F₁₄	F₁₅	F₁₆	F₁₇	F₁₈	F₁₉	F₂₀
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

Egenskaper

Største felles divisor

Den største felles divisor mellom to påfølgende ledd er lik 1.^[3]

Største felles divisor mellom to vilkårlige fibonaccitall er selv et fibonaccitall.^[5]

Faktorisering

Med unntak av $F_{2}$ , $F_{3}$ , $F_{7}$ og $F_{13}$ vil hvert fibonaccitall ha et nytt primtall i en faktorisering. Alle primtallene opptrer i faktoriseringer for fibonaccitallene.^[5]

Cassinis identitet

Cassinis identitet gir en relasjon mellom ledd i Fibonacci-følgen:^[5]

F_{n+1}^{2}-F_{n}\cdot F_{n+2}=(-1)^{n}

.

Fibonacci-spiralen

Fra fibonaccitallene kan en lage en fibonaccispiral ved å sette sammen kvadrater med sidekant $F_{n}$ .^[5] I hver firkant kan en innskrive en kvadratsirkel med radius lik fibonaccitallet. Tilsammen vil disse sirkelbuene danne en spiral.

Relasjon til det gyldne snitt

Eksplisitt form

Fibonaccitallene kan uttrykkes eksplisitt, uten bruk av rekursjonsformelen. Den lukkete formen er kjent som Binets formel, etter Jacques Philippe Marie Binet.^[5]

F_{n}={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-1/\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}\,

.

Her er φ forholdstallet i det gyldne snitt, definert ved

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618\,033\,988\,7\dots

Grenseverdi for forholdstall

Forholdet mellom to påfølgende fibonaccitall nærmer seg forholdstallet i det gylne snitt som grenseverdi:

\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi

.

Bruk av fibonaccitall

Fibonaccitall kan gjenfinnes i naturen. To påfølgende blader på en stengel antas å være adskilt av en brøkdel av en hel rotasjon, der brøken er gitt som forholdet mellom to fibonaccitall.^[6] Epletrær har forholdet 2/5, mens pæretrær har 5/13.

Fibonaccifølgen kan på flere måter kobles til økonomifaget.^[7]^[8] For det første kan den kobles direkte til økonomiske teorier, som for eksempel ved en sentralbanks rentesetting, konsument- og investeringsadferd. For det andre kan den brukes som måleinstrument for å tallfeste økonomiske parametre.

Historie

De grunnleggende idéene bak fibonaccitallene ble først beskrevet av den indiske matematikeren Pingala, født ca. år 500 f. Kr.^[9]^[10]

Til Europa ble følgen introdusert av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci (1170–1250), i boka Liber abaci (1202).^[11] Boka var viktig for bruk av det arabiske tallsystemet i Europa, som erstatning for romertallene. Tallfølgen brukte Fibonacci for å beskrive økningen i en idealisert kaninbestand. Antall par kaniner vil etter $n$ måneder være lik $F_{n}$ hvis følgende kriteria blir møtt:

Den første måneden blir det bare født ett kaninpar,
Nyfødte kaninpar blir produktive fra og med den andre måneden og utover,
Innavl eksisterer ikke,
Hver måned produserer hvert kjønnsmodent par ett nytt kaninpar, og
Kaninene dør aldri.

Hvis en i måneden $n$ har $F_{n}$ kaniner og i måneden $(n+1)$ har $F_{n+1}$ kaniner, så vil en i måneden $(n+2)$ ha $F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}$ kaniner. Hvert kaninpar føder ett nytt kaninpar hver måned, og det betyr at at $F_{n}$ kaninpar føder et tilsvarende antall $F_{n}$ par. Disse vil bli kjønnsmodne først etter to måneder, som er nøyaktig i måneden $(n+2)$ .

Navnene fibonaccitall og fibonaccifølge ble introdusert av den franske matematikeren Edouard Lucas (1841-1891).^[1]

Binets formel ble først utledet av de Moivre.^{[trenger referanse]} Grenseverdien for forholdstallet mellom leddene ble først påvist av Johannes Kepler.^{[trenger referanse]}

Referanser

1 2 Ragnar Solvang (2002). Matematisk etymologi. Oslo: Damm. s. 55. ISBN 8250818342.
↑ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 220. ISBN 0-00-434347-6.
1 2 G.H. Hardy, E.W. Wright (2008). An introduction to the theory of numbers. Oxford: Oxford University Press. s. 190-194. ISBN 978-0-19-921985-8.
↑ Isaac Asimov (1980). Om tall. Oslo: Dreyer. s. 199. ISBN 8209016881.
1 2 3 4 5 Reinert A. Rinvold (2001). Tallære. Bergen: Caspar forlag. s. 128-135.
↑ William Karush (1982). Matematisk oppslagsbok. Oslo: Schibsted. s. 29. ISBN 8251608325.
↑ Fibonaccirekken i økonomifaget, Samfunnsøkonomen nr 2, 2013 Arkivert 27. oktober 2013 hos Wayback Machine.
↑ Optimal Control and the Fibonacci Sequence, 2012, Journal of Optimization Theory and Applications, DOI: 10.1007/s10957-012-0061-2
↑ Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". Math. Ed. Siwan, 20(1):28-30, 1986. ISSN 0047-6269]
↑ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India." Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.
↑ Carl B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. s. 281-282. ISBN 0-691-02391-3.

[RS-1] 1 2 Ragnar Solvang (2002). Matematisk etymologi. Oslo: Damm. s. 55. ISBN 8250818342.

[COL-2] E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 220. ISBN 0-00-434347-6.

[HW190-3] 1 2 G.H. Hardy, E.W. Wright (2008). An introduction to the theory of numbers. Oxford: Oxford University Press. s. 190-194. ISBN 978-0-19-921985-8.

[4] Isaac Asimov (1980). Om tall. Oslo: Dreyer. s. 199. ISBN 8209016881.

[RAR-5] 1 2 3 4 5 Reinert A. Rinvold (2001). Tallære. Bergen: Caspar forlag. s. 128-135.

[6] William Karush (1982). Matematisk oppslagsbok. Oslo: Schibsted. s. 29. ISBN 8251608325.

[7] Fibonaccirekken i økonomifaget, Samfunnsøkonomen nr 2, 2013 Arkivert 27. oktober 2013 hos Wayback Machine.

[8] Optimal Control and the Fibonacci Sequence, 2012, Journal of Optimization Theory and Applications, DOI: 10.1007/s10957-012-0061-2

[9] Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". Math. Ed. Siwan, 20(1):28-30, 1986. ISSN 0047-6269]

[10] Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India." Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.

[11] Carl B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. s. 281-282. ISBN 0-691-02391-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]