Kvadrattall

16 kuler danner et kvadrat hvor hver sidekant har 4 kuler.

Et kvadrattall er det positive heltallet som oppstår når et heltall multipliseres med seg selv. Eksempelvis er 25 et kvadrattall ettersom 5 · 5 = 25. En annen, vanlig skrivemåte er potensformen 5² som sies å være «fem opphøyd i to» eller «fem i kvadrat». De første kvadrattallene er

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529,....

Navnet kvadrattall skyldes at et slikt antall prikker eller kuler kan arrangeres som et geometrisk kvadrat. Det betyr at det n-te kvadrattallet har n prikker eller kuler i sine sidekanter. Disse tallene danner en klasse av figurtall på samme måte som trekanttallene og andre polygontall.

Kvadratet av et liketall er alltid et liketall, mens kvadratet av et oddetall alltid er et oddetall.

Aritmetiske egenskaper

Det n-te kvadrattallet K_n  kan skrives som en sum av de n første oddetallene. For eksempel, så er

${\begin{aligned}&1&=1&=1^{2}\\&1+3&={4}&=2^{2}\\&1+3+5&={9}&=3^{2}\\&1+3+5+7&=16&=4^{2}\\\end{aligned}}$

Da det n-te oddetall er 2n + 1, tilsvarer denne egenskapen ved kvadrattallene den rekursive sammenhengen

$K_{n+1}=K_{n}+(2n+1)$

Ved å benytte at K₁ = 1, kan alle kvadrattallene herav beregnes ved addisjon. Rekursjonsrelasjonen kan også illustreres geometrisk ved figurene

$\color {black}1\color {black}$	$1+\color {blue}3\color {black}=4$	$4+\color {blue}5\color {black}=9$	$9+\color {blue}7\color {black}=16$

hvor oddetallet som legges til, er gitt ved de blå kulene. Dens riktighet følger også algebraisk fra definisjonen K_n = n²  som betyr at

$K_{n+1}=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$

Sammenheng med trekanttall

Summen av de to påfølgende trekanttallene 10 og 15 gir kvadrattallet 25.

Hvert kvadrattall kan skrives som summen av et trekanttall og det foregående trekanttallet, det vil si

$K_{n}=\Delta _{n}+\Delta _{n-1}$

Det følger lett fra den algebraiske sammenhengen

$K_{n}={1 \over 2}n(n+1)+{1 \over 2}n(n-1)=n^{2}$

og kan geometrisk illustreres ved å arrangere kulene i de to trekantene med sidekanter n og n - 1 til å utgjøre et kvadrat med sidekant n.

Trekanttallene kan også benyttes til å utlede formelen for summen av de n første kvadrattallene. Den er

${\begin{aligned}S_{2}(n)&=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={1 \over 3}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 6}n\\&={1 \over 6}n(n+1)(2n+1)\end{aligned}}$

Denne formelen for summen er samtidig det n-te, pyramidetallet basert på en pyramide med kvadratisk grunnflate. Det kan bevises ved induksjon ved at

$S_{2}(n)=S_{2}(n-1)+n^{2}={1 \over 6}n(n-1)(2n-1)+n^{2}$

Da formelen er riktig for n = 2, vil den derfor være riktig for alle større verdier av n.

Geometrisk tilsvarer denne rekursjonsrelasjonen at summen S_n  representerer antall kuler i en slik pyramide bestående av n lag med kvadrat hvor hvert kvadrat har sidelengder fra 1 til n. Den kan bygges opp fra en pyramide med S_{n - 1}  kuler ved å tilføye en ny, kvadratisk grunnflate med n² kuler.

Litteratur

• A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk III for realgymnaset, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
• A. Holme, Matematikkens Historie 1, Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.