Pyramidetall

Det femte, kvadratiske pyramidetallet 55 er bygd opp i Musée historique de Strasbourg av 5 lag med kanonkuler.

Pyramidetall er i aritmetikken bestemte følger av figurtall som er forbundet med formen til en pyramide hvor grunnflaten er en regulær mangekant og sideflatene er trekanter. De utgjør en spesiell klasse av figurtall i den større gruppen av polyedertall basert på mer generelle polyeder i tre dimensjoner.

De mest kjente pyramidetallene er tetraedertallene

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, ...

hvor grunnflaten er en likesidet trekant og de kvadratiske pyramidetallene

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, ...

hvor grunnflaten er et kvadrat.

Et pyramidetall kan illustreres ved å arrangere et slikt antall baller eller kuler i en pyramideformet stabel. Antall kuler til en sidekant i grunnflaten angir da samtidig også antall lag opp til toppen av pyramiden hvor der ligger en kule. Det n-te laget er derfor også en polygon med samme form som grunnflaten og inneholder et antall kuler som er gitt ved det tilsvarende n-te polygontallet.

Generell formel

Det fjerde, kvadratiske pyramidetallet er bygd opp av fire lag med tilsammen 1 + 4 + 9 + 16 = 30 kuler.

Hvis P_s(k) er det k-te polygontallet for en regulær mangekant med s sider, så er det n-te pyramidetallet M_s(n)   definert ved

$M_{s}(n)=\sum _{k=1}^{n}P_{s}(k)=P_{s}(1)+P_{s}(2)+P_{s}(3)+\cdots +P_{s}(n)$

som tilsvarer summen av antall kuler i hvert lag som den er bygd opp av. Det betyr at pyramidetallene også kan defineres og regnes ut fra rekursjonsrelasjonen

$M_{s}(n+1)=M_{s}(n)+P_{s}(n+1)$

med M_s(1) = 1 som tilsvarer kulen på toppen av pyramiden. Dette gir den generell formelen

$M_{s}(n)={1 \over 6}(s-2)n^{3}+{1 \over 2}n^{2}-{1 \over 6}(s-5)n$

som var kjent allerede for Arkimedes som brukte den til beregning av tredimensjonale volum.

Formelen kan bevises ved matematiskinduksjon. Alternativt følger den direkte fra den generelle formelen

$P_{s}(k)={\frac {1}{2}}(s-2)k^{2}-{\frac {1}{2}}(s-4)k$

for det k-te polygontallet Fra definisjonen av pyramidetallene har man da

$M_{s}(n)={1 \over 2}(s-2)\sum _{k=1}^{n}k^{2}-{1 \over 2}(s-4)\sum _{k=1}^{n}k$

Mens den siste summen her er n(n + 1)/2, kan den første summen av kvadratene finnes fra egenskaper ved trekanttallene. Det gir

${\begin{aligned}M_{s}(n)&={1 \over 2}(s-2){\Big (}{1 \over 3}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 6}n{\Big )}-{1 \over 2}(s-4){\Big (}{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 2}n{\Big )}\\&={1 \over 6}(s-2)n^{3}+{1 \over 2}n^{2}-{1 \over 6}(s-5)n\end{aligned}}$

I det spesielle tilfellet med en femkantet pyramide, faller det siste leddet bort slik at formelen gir

${\begin{aligned}M_{5}(n)&={1 \over 2}n^{2}(n+1)\\&=1,6,18,40,75,126,196,288,405,550,726,936,1183,1470,1800,2176,2601,...\end{aligned}}$

som er de pentagonale pyramidetallene.

Trigonale pyramidetall

En triangulær pyramide ser ut som tetraeder. Derfor er de triangulære pyramidetallene de samme som tetraedertallene T_n  og gitt ved

$M_{3}(n)={1 \over 6}n(n+1)(n+2)=T_{n}={n+2 \choose 3}$

De første tallene i denne klassen er dermed 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, ...

Kvadratiske pyramidetall

For s = 4 finner man de kvadratiske pyramidetallene gitt ved

$M_{4}(n)={1 \over 6}n(n+1)(2n+1)={1 \over 3}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 6}n$

som representerer summen av de n første kvadrattallene. Hvert av disse kan skrives som summen av to påfølgende tetraedertall da

${\begin{aligned}M_{4}(n)&={1 \over 6}n(n+1)(n+2+n-1)\\&=T_{n}+T_{n-1}\end{aligned}}$

Dette algebariske resultatet kan også forklares geometrisk ved å dele pyramiden i to. På tilsvarende måte kan et oktaeder deles i to pyramider med kvadratiske grunnflater som adskiller seg ved at den ene har en kule mindre i sidekanten. Dette kommer til uttrykk i det n-te oktaedertallet som kan skrives som

$O_{n}=M_{4}(n)+M_{4}(n-1)={1 \over 3}n(2n^{2}+1)$

De første, kvadratiske pyramidetallene er 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, ...

Litteratur

• A. Holme, Matematikkens Historie 1, Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.
• R. Courant and H. Robbins, What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, Oxford (1996). ISBN 0-195-10519-2.
• J.H. Conway and R.K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York (1996). ISBN 978-1-4612-8488-8.