Harmonisk deling

Linjestykket AB er innvendig delt av punkten C  med delingsforholdet AC/CB = 2/1 = 2. Samtidig er det utvendig delt av punktet D med delingsforholdet AD/DB = 6/(-3) = -2.

Harmonisk deling betegner en spesiell plassering av fire punkter på en rett linje. Den oppstår i mange forskjellige sammenhenger i geometri og spiller en spesielt viktig rolle i projektiv geometri.

Setter man av to punkter A og B på en linje, får man et linjestykke som man kan betegne med AB. Har linjen en retning, kan også dette linjestykket tilordnes et fortegn avhengig av om man beveger seg med eller mot denne retningen. Hvis AB betegner linjestykket fra A til B, vil BA betegne linjestykket fra B til A slik at AB = - BA.

I euklidsk geometri kan man også angi lengden av dette linjestykket ganske enkelt som AB. Men selve definisjonen av harmonisk deling er mer generell og gjelder også i affin geometri hvor lengden av et linjestykke ikke er definert. Men forholdet mellom linjestykker langs samme linje er entydig og bestemmer den harmoniske delingen. Den ligger til grunn for at kjeglesnitt kan forbindes med spesielle punkt og linjer som kalles pol og polare.

Definisjon

Hvis et tredje punkt C plasseres mellom A og B, er linjestykket AB innvendig delt av dette punktet med et delingsforhold (A,B;C) = AC/CB. Det går mot null når C nærmer seg punktet A, er lik 1/2 når C deler AB på midten og går mot uendelig når C nærmer seg punktet B.

Tilsvarende vil et punkt D utenfor linjestykket AB sies å dele dette utvendig med et delingsforhold (A,B;D) = AD/DB som da vil bli negativt. Det skyldes at i dette tilfellet vil DB være negativ når D ligger til høyre for B, mens AD da er positiv. Når D ligger til venstre for A, får begge linjestykkene motsatte fortegn som gir samme, negative fortegn i delingsforholdet.

To punkter C og D sies å dele linjestykket AB harmonisk når delingsforholdet (A,B;C) er like stort som delingsforholdet (A,B;D), men har motsatt fortegn. Matematisk kan dette skrives som

${AC \over CB}=-{AD \over DB}$

I euklidsk geometri gjelder da relasjonen AC⋅DB = - AD⋅CB mellom lengdene til de tilsvarende linjestykkene. Et av delingspunktene ligger mellom A og B, mens det andre ligger utenfor. Det indre delingspunktet kan ikke halvere linjestykket, da det vil tilsvare at det ytre delingspunktet befinner seg uendelig langt borte.

Definisjonen AC⋅DB = - AD⋅CB for harmonisk deling av linjestykket AB kan omskrives til den ekvivalente formen CA⋅BD = - CB⋅AD. Det viser at når punktene C og D deler AB harmonisk, så vil også punktene A og B dele linjestykket CD harmonisk.

Ved en slik harmonisk deling ser man at dobbeltforholdet (A,B;C,D) = (A,B;C)/(A,B;D)  tar den spesielle verdien -1. Dette forholdet er invariant under projektive transformasjoner og spiller en sentral rolle i projektiv geometri.

Harmonisk middelverdi

Skriver man betingelsen for harmonisk deling som BC/AC = - BD/AD, kan den lett omformes til 1/AB - 1/AC = 1/AD - 1/AB. Det gir relasjonen

${2 \over AB}={1 \over AC}+{1 \over AD}$

som noen ganger blir tilegnet den franske filsosof og naturviter Descartes. Den sier at lengden til linjestykket AB er den harmoniske middelverdien av lengdene AC og AD og har gitt opphav til navnet harmonisk deling.

Affin geometri

I euklidsk geometri er lengden av linjestykket AB entydig gitt ved de kartesiske koordinatene til punktene A og B og kan benyttes til beregning av harmonisk deling. Men dette kan generaliseres til affin geometri hvor slike lengder i alminnelighet ikke kan tilordnes vilkårlige linjestykker. Men de relative forholdene AC/CB = - AD/DB  mellom linjestykkene som inngår i definisjonen av harmonisk deling, er derimot veldefinerte da linjestykkene ligger langs samme linje.

Alle punkt T på linjen gjennom A og B kan da angis ved en parameter t  som T = (1 - t)A + tB. For punktet A er t = 0, mens for punktet B er t = 1. For delingspunktet C er parameteren t = c < 1, mens punktet D har en parameter t = d > 1. Linjestykket AC tilsvarer dermed vektoren C - A = c(B - A), linjestykket CB tilsvarer vektoren B - C = (1 - c)(B - A) og likedan for AD og DB. Betingelsen AC/CB = - AD/DB  for harmonisk deling tar da formen

${c \over 1-c}=-{d \over 1-d}$

hvor vektoren B - A blir en felles faktor som faller ut i delingsforholdet. Dette kan forenkles til betingelsen c + d = 2cd som også gjelder i euklidsk geometri. Da angir c avstanden til C  fra A og d avstanden til D fra A i enheter hvor avstanden mellom A og B er lik 1. Skriver man dette som 2 = 1/c + 1/d, ser man at det ikke er noe annet enn et nytt uttrykk for at AB er det harmoniske gjennomsnittet av AC og AD.

Dette resultatet blir mer interessant ved å innføre midtpunktet M mellom punktene A og B. I disse enhetene er da MC = c -1/2 og MD = d - 1/2 hvor den halve avstanden mellom A og B er AM = MB = 1/2. Da kan resultatet skrives på formen MA⋅MB = - MC⋅MD som går tilbake til Newton.

I den mer generelle, projektiv geometri er denne beskrivelsen av punkter på en linje ikke gyldig. Da må harmonisk deling defineres på en annen måte. Vanligvis gjøres det ved å forlange at dobbeltforholdet tar verdien (A,B;C,D) = -1 for fire punkter A, B, C og D på en linje. Dette forholdet er alltid entydig bestemt.

Konstruksjon

Hvis man i euklidsk geometri er gitt linjestykket AB og et indre delingspunkt S, kan man finne det harmonisk konjugerte punktet T ved å beregne lengden BT  fra definisjonen for harmonisk deling og så avsette denne direkte på forlengelsen av linjestykket AB ved å benytte for eksempel en linjal som målestav.

Sirkelinversjon

Konstruksjon av det fjerde, harmoniske punktet ved inversjon i en sirkel.

Man kan i stedet for en lengdemåler bruke en sirkel. Det gir en mer direkte, geometrisk konstruksjon av det konjugerte punktet. Man lar sirkelen ha sitt sentrum i midtpunktet M til AB og dette linjestykket som diameter. Trekkes en linje gjennom det gitte punktet S normalt til linjestykket, skjærer den sirkelen i punktet Q som vist i figuren. Konstruerer man nå tangenten til sirkelen i dette punktet, vil den skjære forlengelsen av AB i punktet T. Det er nå det harmonisk konjugerte punktet.

Dette følger fra en sammenligning av trekantene MSQ og MQT som er formlike. Det betyr at MS/MQ = MQ/MT. Men nå er MQ² = - MA⋅MB lik med kvadratet til radius i sirkelen slik at MA⋅MB = - MS⋅MT. Derfor deler punktene S og T linjestykket AB harmonisk som vist tidligere.

At produktet MS⋅MT er lik kvadratet av sirkelens radius, betyr at det harmonisk konjugerte punktet T også kan betraktes som speilbildet av det gitte punktet S under en inversjon i sirkelen som går gjennom punktene A og B.

Parallelle linjer

Konstruksjon av harmonisk deling i affin geometri.

I affin geometri er ikke lengder av linjestykker i alminnelighet veldefinerte. Heller ikke finnes det sirkler. Men man kan konstruere parallelle linjer som gjør det mulig å finne det harmonisk konjugerte punktet T direkte ved en geometrisk konstruksjon uten bruk av noen lengdemåler eller sirkler. Man går frem på følgende måte:

1. Man trekker en vilkårlig linje gjennom A og en parallell til denne gjennom B.
2. På linjen gjennom A setter man av et vilkårlig punkt C og trekker linjen gjennom dette punktet og S.
3. Den skjærer linjen gjennom B i punktet D. Forleng linjestykket DB med seg selv til punktet D'.
4. Trekk linjen mellom C og D'  slik at den skjærer forlengelsen av AB  i punktet T.

Dette punktet T sammen med det gitte punktet S gir nå en harmonisk deling av linjestykket AB. Det følger fra figuren som viser at AS/SB = AC/DB = AC/BD. Men samtidig ser man også fra figuren at AT/BT = AC/BD' . Det betyr at AS/SB = - AT/TB  som er det ønskede resultatet.

Fullstendig firkant

Bruk av en fullstendig firkant for konstruksjon av punktene C og D  harmonisk konjugert til A og B.

Harmonisk deling kan også gjennomføres uten bruk av sirkler i euklidsk geometri eller parallelle linjer i affin geometri, men kun ved bruk av en linjal til konstruksjon av rette linjer. Den er basert på spesielle egenskaper ved det som kalles en fullstendig firkant og har en viktig rolle i projektiv geometri.

Oppgaven er å finne et nytt punkt C på en linje gjennom to gitte punkt A og B som er harmonisk konjugert med et tredje punkt D relativt til de to andre, gitte punktene. Man velger da et vilkårlig punkt L utenfor linjen gjennom A og B. Etter å ha trukket linjene LB og LD trekkes en linje gjennom A som skjærer disse to linjene i K og N. En ny linje gjennom punktene B og K skjærer linjen LA i et fjerde punkt M. Dermed er den fullstendige firkanten KLMN konstruert. Hvis man nå forlenger dens diagonal MN  til den skjærer den gitte linjen i C, er dette det søkte punktet. Samme konstruksjon kan benyttes hvis punktet C utenfor A og B er gitt og man skal finne det konjugerte punktet D.

Ved bruk av homogene koordinater på linjen gjennom A og B, kan det gitt punktet D skrives på den kompakte formen D = A + λB  hvor λ  er en slik koordinat. På samme vis kan man skrive at K = D + μL da K ligger på linjen LD. Derfor er K = A + λB + μL. Denne sammenhengen betyr at K - A = λB + μL = N  da dette punktet N er definert ved skjæringspunktet mellom linjene AK og LB. Alternativt følger at K - λB = A + μL = M  da punktet M  er skjæringspunktet mellom linjene BK og LA.

Da det søkte punktet C ligger på linjen mellom M og N, ser man fra M - N = A - λB  at det harmonisk konjugerte punktet til D = A + λB  er gitt som C = A - λB  da det også ligger på linjen mellom A og B,

Litteratur

• D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover Publications, New York (2013). ISBN 1-306-340551.

Eksterne lenker

• Geometrikon, Harmonic division.